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§ 1。 函数与过滤后的集合的比较

令 E 被基 $\mathfrak{F}$ 的过滤器过滤为集合 (Gen.Top., I, p. 58);在这个章中，我们将考虑函数，其定义的域是E属于的子集到过滤器基$\mathfrak{F}$（子集取决于函数），并且其值要么域或实数 $\mathbf{R}$，或者更一般地，在标准化的向量空间中，超过有价值的域（*Gen. Top.*、IX、p. 170）。

在应用中，E 通常是实空间 $\mathbf{R}^n$ 的子空间，或者延长线 $\overline{\mathbf{R}}$，$\mathfrak{F}$ 是 E 的闭包点的邻域过滤器在 E 上的迹，或者是 E 的相对紧凑的子集的补集过滤器（“无穷远处点的邻域”）。

一般来说，仅仅知道这样的函数趋向于沿着$\mathfrak{F}$的给定极限能够处理由此函数形成的表达式的“沿着$\mathfrak{F}$到极限的通道”的所有问题是不够的。

对于例，当实数变量x趋于$+\infty$时，三个函数、$x$、$x^2$和$\sqrt{x}$都趋向于$+\infty$，但是，

第一个趋向于$+\infty$，第二个趋于1，第三个趋于0。

因此，不仅要了解函数沿$\mathfrak{F}$的极限值（当极限存在时），还要了解函数接近其极限的“方式”；在其他字中，导致对函数中的集合进行分类，其趋向于相同的极限。

1. 比较关系：I。弱关系

在下文中，我们用V表示在值域K上的规范化向量空间，并用函数的$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$集合和V中的值表示，每个都在E的子集上定义属于至过滤器基 $\mathfrak{F}$。 关系，我们将在函数之间的定义相对于带有基$\mathfrak{F}$的过滤器有一个*本地*特征标：让我们澄清一下这是什么意思。如果 f 和 g 是 $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ 中的两个函数，请回想一下关系“存在集合 $Z \in \mathfrak{F}$，使得 f 和 g 在 Z 上定义且相等”是 $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ 上的 等价关系 $R_\infty$ (Gen.Top.*, I, p. 66）。既然如此，我们可以说涉及$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$的函数$f$的关系S相对于$f$是*本地*特征标（沿着$\mathfrak{F}$），如果它与等价关系*相容的*（在$f$中） $R_\infty$（*集合理论*，II，p. 117）；我们知道，如果$\tilde{f}$是$f$沿$\mathfrak{F}$的*胚芽*，$f$模$R_\infty$的等价类（商集$\mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, V) = \mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)/R_\infty$的元素），那么我们可以从S中通过求商得出， $\tilde{f}$ 和 S 的其他参数之间的关系，相反，相对于 $f$ 的局部特征标的这种性质的关系定义关系。

$^1$ 特别是，在接下来的所有内容中，给定$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$中的函数$f$，我们将用$\|f\|$函数$t \mapsto \|f(t)\|$表示，其中属于到$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$并且在相同的集合上定义为$f$：我们明确提请注意，在此章$\|f\|$是*函数*而不是*数*。

给定两个规范化的向量空间$V_1, V_2$和两个函数$f_1, f_2$属于分别对应于$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_1)$和$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_2)$，可以说$f_1$受$f_2$支配（沿着$\mathfrak{F}$），并写$f_1 \preccurlyeq f_2$ 或 $f_2 \succeq f_1$，如果 $\|f_1\| \preccurlyeq \|f_2\|$。

关系 $f_1 \preccurlyeq f_2$ 在$f_1$和$f_2$中显然是本地特征标；因此，它相当于由经过得到商得出的关系 $\tilde{f}_1 \preccurlyeq \tilde{f}_2$。当$f$和$g$是真实的函数时，必须小心不要混淆关系、$\tilde{f} \preccurlyeq \tilde{g}$和$\tilde{f} \leq \tilde{g}$。

注对于每个标量 $\lambda \neq 0$ 关系 $f_1 \preccurlyeq f_2 \lambda$ 等于 $f_1 \preccurlyeq f_2$。如果$f_1 \preccurlyeq f_2$存在集合$X \in \mathfrak{F}$，使得每个点$x \in X$都有$f_1(x) = 0$，其中$f_2(x) = 0$。

对于每个标量 $\lambda \neq 0$ 关系 $f \simeq g$ 等价于 $f \simeq g \lambda$。这意味着集合$X \in \mathfrak{F}$的存在，使得点的$X$的子集（其中$f(x) = 0$）与点的$X$的子集（其中$g(x) = 0$）相同。

2. 比较关系：II。强关系

给定两个范数空间 $V_1,\ V_2$ 和两个函数 $f_1,\ f_2$ 属于分别到 $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_1)$ 和 $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_2)$ ，有人说 $f_1$ 相对于 $f_2$ 可以忽略不计*（沿着* $\mathfrak{F}$），*一个人写* $f_1 \ll f_2$ 或 $f_2 \gg f_1$，*如果* $\|f_1\| \ll \|f_2\|$。

对于每个标量 $\lambda \neq 0$ 关系 $f_1 \ll f_2 \lambda$ 等于 $f_1 \ll f_2$。 关系 $f_1 \ll f_2$ 暗示 $f_1 \preccurlyeq f_2$ 但不等同于它。

注，关系$f_1 \preccurlyeq f_2$绝不意味着关系“$f_1 \ll f_2$或$f_1 \asymp f_2$”：一个人有$\sin x \preccurlyeq 1$，因为$x$倾向于$+\infty$，但关系$\sin x \ll 1$或$\sin x \asymp 1$ 是真的。

关系 $f \sim g$ 暗示 $f \asymp g$ 但不等同于它。

3. 变量的变换

让$\varphi$是从集合$E'$到$E$的映射，这样$\varphi^{-1}(\mathfrak{F})$是$E'$上的过滤器基。很明显，如果$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_1)$和$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_2)$中的$f_1, f_2$分别为函数，则$f_1 \circ \varphi, f_2 \circ \varphi$属于分别为$\mathscr{H}(\varphi^{-1}(\mathfrak{F}), V_1)$和$\mathscr{H}(\varphi^{-1}(\mathfrak{F}), V_2)$，并且关系$f_1 \preccurlyeq f_2$（分别为$f_1 \ll f_2$）为相当于$f_1 \circ \varphi \preccurlyeq f_2 \circ \varphi$（分别为$f_1 \circ \varphi \ll f_2 \circ \varphi$）。

4. 严格正值之间的比较关系函数

令$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$中的$g$为函数，这对$\mathfrak{F}$中的集合严格为正。具有$g$的比较关系可以用另一个方式表示：关系$f \preccurlyeq g$等价于说，$\|f\|/g$（在$\mathfrak{F}$中的集合上定义）以集合为界$\mathfrak{F}$； 关系$f \ll g$相当于说，$\|f\|/g$沿$\mathfrak{F}$趋于0。如果 $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ 关系 $f \asymp g$ 中 $f$ 为函数，则表示 $f/g$ 以对数方式有界于 $\mathfrak{F}$ 中的集合，并且关系 $f \sim g$ $f/g$沿$\mathfrak{F}$趋于1。如果$f$在$\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$中为函数，并且$\mathfrak{F}$中的集合为正，则说$f$和$g$具有可比性意味着$f/g$趋向于极限（有限或等于$+\infty$） $\mathfrak{F}$。