例 1 082T

常数函数在每个点处都有零导数。

例 2 082U

仿射线性函数 $x \mapsto ax + b$ 在每个点处的导数等于 $a$。

例 3 082V

实数函数$1/x$（为$x \neq 0$定义）在每个点$x_0 \neq 0$处是可微的，因为我们有$\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0} \right) / (x - x_0) = -\frac{1}{x x_0}$，并且由于$1/x$在$x_0$处连续，因此前面表达式的极限为$-1/x_0^2$。

例 4 082W

在 $\mathbf{R}$ 上定义的标量函数 $|x|$，在 $x = 0$ 具有右导数 $+1$ 和左导数 $-1$；在这个点处不可微分。

例 5 082X

实数函数对于$x = 0$等于0，对于$x \neq 0$等于$x \sin 1/x$，在$\mathbf{R}$上定义且连续，但在点$x \neq 0$处既没有右导数也没有左导数。*可以给出函数的例，它在函数上连续一个区间，并且无法在该区间的每点处求导数（I、p. 35，练习 2 和 3）。

例 1 0835

设$f = (f_i)_{1 \leq i \leq n}$为函数，值在$\mathbf{R}^n$中，定义在区间$I \subset \mathbf{R}$上；每个实数函数$f_i$都是复合函数$\mathrm{pr}_i \circ f$，因此如果$f$是可微的，则在点$x_0$可微，如果是，则$f'(x_0) = (f'_i(x_0))_{1 \leq i \leq n}$可微。

例 2 0836

In Kinematics, if $f(t)$ is the position of a moving point $M$ at time $t$, if $g(t)$ is the position at the same instant of the projection $M'$ of $M$ onto a plane $P$ (resp. a line $D$) with kernel a line (resp. a plane) not parallel to $P$ (resp. $D$), then $g$ is the composition of the projection $u$ of $\mathbf{R}^3$ onto $P$ (resp. $D$) and of $f$; since $u$ is a (continuous) linear mapping one sees that the projection of the velocity of a moving point onto a plane (resp. a line) is equal to the velocity of the projection of the moving point onto the plane (resp. line).

例 3 0837

令$f$为在区间$I \subset \mathbf{R}$上定义的复值函数，并令$a$为任意复数；支柱。图 2 表明，如果 $f$ 在点 $x_0$ 可微，那么$af$ 也可微，并且该函数在 $x_0$ 的导数等于 $af'(x_0)$。

例 1 0839

设$f$为实数函数、$\mathbf{g}$向量函数，两者在点$x_0$可微； 函数 $\mathbf{g}f$ 在 $x_0$ 处的导数等于 $\mathbf{g}'(x_0)f(x_0) + \mathbf{g}(x_0)f'(x_0)$。特别是，如果 $\mathbf{a}$ 是常数，则 $\mathbf{a}f$ 具有导数 $\mathbf{a}f'(x_0)$。最后的注，在合取中，例 1 of I，p. 5，证明如果$\mathbf{f} = (f_i)_{1 \leq i \leq n}$是向量函数，值在$\mathbf{R}^n$中，那么对于$\mathbf{f}$ 在点 $x_0$ 处可微，实数函数 $f_i$ ($1 \leq i \leq n$) 在那里可微是必要且充分的：因为，如果 $(\mathbf{e}_i)_{1 \leq i \leq n}$ 是 $\mathbf{R}^n$ 的典范基，我们可以写$\mathbf{f} = \sum_{i=1}^n \mathbf{e}_i f_i$。

例 2 083A

真正的函数 $x^n$ 来自多重线性函数

在$\mathbf{R}^n$上定义，用$x$替换每个$x_i$；所以支持。图 3 表明 $x^n$ 在 $\mathbf{R}$ 上可微，并且具有导数 $nx^{n-1}$。结果多项式函数$\mathbf{a}_0 x^n + \mathbf{a}_1 x^{n-1} + \cdots + \mathbf{a}_{n-1} x + \mathbf{a}_n$（$\mathbf{a}_i$为常数向量）有导数

当$\mathbf{a}_i$是实数时，函数重合与多项式函数的导数如代数（A，IV）中所定义。

例 3 083B

欧氏标量乘积$(\mathbf{x}| \mathbf{y})$（Gen.Top，VI，p. 40）是$\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^n$到$\mathbf{R}$的双线性映射（必须连续）。如果 $\mathbf{f}$ 和 $\mathbf{g}$ 是两个向量函数，其中值在 $\mathbf{R}^n$ 中，并且在点 $x_0$ 处可微，则实数函数 $x \mapsto (\mathbf{f}(x)|\mathbf{g}(x))$ 在 处的导数等于 $(\mathbf{f}'(x_0)|\mathbf{g}(x_0)) + (\mathbf{f}(x_0)|\mathbf{g}'(x_0))$ 点$x_0$。 厄米特标量乘积在$\mathbf{C}^n$上有一个类似的结果，这个空间被认为是$\mathbf{R}$上的向量空间。

让我们特别考虑欧氏范数$\| \mathbf{f}(x) \|$恒定的情况，因此$(\mathbf{f}(x)|\mathbf{f}(x)) = \| \mathbf{f}(x) \|^2$也是恒定的；当$(\mathbf{f}(x)|\mathbf{f}(x))$的导数在$x_0$处消失时，我们得到$(\mathbf{f}(x_0)|\mathbf{f}'(x_0)) = 0$；在其他字中，$\mathbf{f}'(x_0)$与$\mathbf{f}(x_0)$正交。

例 4 083C

如果$E$是$\mathbf{R}$上的拓扑代数（cf.简介），$E$的两个元素的乘积$xy$是$(x, y)$的连续双线性函数；如果$\mathbf{f}$和$\mathbf{g}$在$E$有值并且在点$x_0$可微，那么函数$x \mapsto \mathbf{f}(x)\mathbf{g}(x)$在$x_0$有等于$\mathbf{f}'(x_0)\mathbf{g}(x_0) + \mathbf{f}(x_0)\mathbf{g}'(x_0)$的导数。特别是，如果 $U(x) = (\alpha_{ij}(x))$ 和 $V(x) = (\beta_{ij}(x))$ 是阶 $n$ 的两个方阵，在 $x_0$ 可微，则它们的乘积 $UV$ 在 $x_0$ 具有等于 $U'(x_0)V(x_0) + U(x_0)V'(x_0)$ 的导数（其中$U'(x) = (\alpha'_{ij}(x))$ 和 $V'(x) = (\beta'_{ij}(x))$）。

例 5 083D

来自空间 $\mathbf{R}^n$（代数，III，p. 522）的 $n$ 向量 $\mathbf{x}_i = (x_{ij})_{1 \leq i \leq n}$ 的行列式 $\det(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n)$ 是 $\mathbf{x}_i$ 的（连续）多重线性函数，我们可以看到，如果 $n^2$ 实数函数 $f_{ij}$ 在 $x_0$ 处可微，那么它们的行列式 $g(x) = \det(f_{ij}(x))$ 的导数等于

例 1 083G

最重要的特殊情况是，其中 E 是域 $\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$ 之一：如果 $f$ 是函数，实数或复数值，可在点 $x_0$ 微分，并且使得 $f(x_0) \neq 0$，则 $1/f$ 的导数等于$-f'(x_0)/(f(x_0))^2$ $x_0$。

例 2 083H

如果$U = (\alpha_{ij}(x))$是阶$n$的平方矩阵，在$x_0$可微且在点可逆，则$U^{-1}$在$x_0$的导数等于$-U^{-1} U' U^{-1}$。

例 083N

在点$x = 0$函数$x^{1/3}$（$x^3$的逆函数，$\mathbf{R}$自身同胚）有一个导数，等于$+\infty$；在$x = 0$函数$|x|^{1/3}$有右导数$+\infty$和左导数$-\infty$。

公式对于可微实数函数的和、乘积的导数，以及可微分函数的逆（命题1、3和4），以及（实值）合成对函数的导数（命题1）。 5) 当出现的导数是无限时仍然有效，只要这些公式中出现的所有表达式都有意义（*Gen Top.*、IV、p. 345–346）。事实上，如果在道具中。 6 假设 $f$ 为严格递增的（分别为严格递减）并且在 I 上连续，并且如果 $f'(x_0) = 0$，则逆函数 $g$ 的导数等于 $+\infty$（分别为 $-\infty$） 点$y_0 = f(x_0)$；如果$f'(x_0) = +\infty$（或$-\infty$），则$g$的导数为0。右导数和左导数有类似的结果，我们将其留给读者处理。

令C为由点$(x, f(x))$形成的平面$\mathbf{R}^2$的有限实数函数$f$、子集的图形或表示曲线，其中$x$穿过集合，其中定义了$f$。若函数$f$在点$x_0 \in I$有有限右导数，则C以点$M_{x_0} = (x_0, f(x_0))$为原点，方向为数$(1, f'_d(x_0))$的半直线称为曲线的右半切线C 点 $M_{x_0}$；当$f'_d(x_0) = +\infty$（或$f'_d(x_0) = -\infty$）时，我们对原点为$M_{x_0}$、方向为数$(0, 1)$（或$(0, -1)$）的半线使用相同的术语。同理，当$f'_g(x_0)$存在时，在$M_{x_0}$处求定义左半切线。通过这些定义，我们可以快速验证右（或左）半切线与横坐标所成的角度是该轴与起始于$M_{x_0}$和经过通过C的点$M_1 = (x, f(x))$所成角度的极限，如下$x$趋于$x_0$，同时保持$> x_0$（或$< x_0$）。

我们还可以说，右（或左）半切线是从 $M_{x_0}$ 经过到 $M_1$ 的半线的极限，将具有相同原点的半线的集合赋予商空间拓扑 $C^*/\mathbf{R}_+^*$（创 11）。顶部.，VIII，p. 107）。

如果C的点$M_{x_0}$处存在两条半切线，则仅当$f$在点$x_0$（假设在I内部）有导数（有限或非）时，它们方向相反；仅当 $f'_d(x_0)$ 和 $f'_g(x_0)$ 无穷大且符号相反时，它们才相同。在这两种情况下，我们说直线包含这两条半切线是 C 在点 $M_{x_0}$ 的切线。

当$M_{x_0}$存在切线时，它是经过穿过$M_{x_0}$和$M_1$的线的极限，因为$x$趋于$x_0$，剩余$\neq x_0$，拓扑在穿过给定固定的线的集合上点是商空间 $C^*/\mathbf{R}^*$（Gen. Top.、VIII、p. 114）。

图的正切和半相切的概念是一般概念的特例，这些概念将在致力于可微分簇的级数的部分中定义。