Ví dụ 1

Một hàm hằng có đạo hàm không tại mọi điểm.

Ví dụ 2

Một hàm tuyến tính afin $x \mapsto ax + b$ có đạo hàm bằng $a$ tại mọi điểm.

Ví dụ 3

Hàm thực $1/x$ (được xác định với $x \neq 0$) khả vi tại mỗi điểm $x_0 \neq 0$, vì ta có $\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x_0} \right) / (x - x_0) = -\frac{1}{x x_0}$, và, do $1/x$ liên tục tại $x_0$, giới hạn của biểu thức đứng trước là $-1/x_0^2$.

Ví dụ 4

Hàm vô hướng $|x|$, được xác định trên $\mathbf{R}$, có đạo hàm phải $+1$ và đạo hàm trái $-1$ tại $x = 0$; nó không khả vi tại điểm này.

Ví dụ 5

Hàm thực bằng 0 với $x = 0$, và bằng $x \sin 1/x$ với $x \neq 0$, được xác định và liên tục trên $\mathbf{R}$, nhưng không có cả đạo hàm phải lẫn đạo hàm trái tại điểm $x \neq 0$.* Có thể cho những ví dụ về các hàm liên tục trên một khoảng và không có đạo hàm tại mọi điểm của khoảng ấy (I, p. 35, exerc. 2 and 3).

Ví dụ 1

Cho $f = (f_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một hàm nhận giá trị trong $\mathbf{R}^n$, xác định trên một khoảng $I \subset \mathbf{R}$; mỗi hàm thực $f_i$ không gì khác hơn là hàm hợp $\mathrm{pr}_i \circ f$, nên khả vi tại điểm $x_0$ nếu $f$ khả vi tại đó, và khi đó $f'(x_0) = (f'_i(x_0))_{1 \leq i \leq n}$.

Ví dụ 2

Trong Động học, nếu $f(t)$ là vị trí của một điểm chuyển động $M$ tại thời điểm $t$, nếu $g(t)$ là vị trí ở cùng thời điểm của hình chiếu $M'$ của $M$ lên một mặt phẳng $P$ (tương ứng, một đường thẳng $D$) với hạt nhân là một đường thẳng (tương ứng, một mặt phẳng) không song song với $P$ (tương ứng, $D$), thì $g$ là hợp thành của phép chiếu $u$ của $\mathbf{R}^3$ lên $P$ (tương ứng, $D$) và của $f$; vì $u$ là một ánh xạ tuyến tính (liên tục), nên ta thấy rằng hình chiếu của vận tốc của một điểm chuyển động lên một mặt phẳng (tương ứng, một đường thẳng) bằng vận tốc của hình chiếu của điểm chuyển động lên mặt phẳng (tương ứng, đường thẳng).

Ví dụ 3

Cho $f$ là một hàm nhận giá trị phức xác định trên một khoảng $I \subset \mathbf{R}$, và cho $a$ là một số phức tùy ý; mệnh đề 2 cho thấy rằng nếu $f$ khả vi tại một điểm $x_0$ thì $af$ cũng vậy, và đạo hàm của hàm này tại $x_0$ bằng $af'(x_0)$.

Ví dụ 1

Cho $f$ là một hàm thực, $\mathbf{g}$ là một hàm vectơ, cả hai đều khả vi tại một điểm $x_0$; hàm $\mathbf{g}f$ có đạo hàm bằng $\mathbf{g}'(x_0)f(x_0) + \mathbf{g}(x_0)f'(x_0)$ tại $x_0$. Đặc biệt, nếu $\mathbf{a}$ là hằng, thì $\mathbf{a}f$ có đạo hàm $\mathbf{a}f'(x_0)$. Nhận xét cuối cùng này, phối hợp với ví dụ 1 của I, p. 5, chứng minh rằng nếu $\mathbf{f} = (f_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một hàm vectơ nhận giá trị trong $\mathbf{R}^n$, thì điều kiện cần và đủ để $\mathbf{f}$ khả vi tại điểm $x_0$ là mỗi hàm thực $f_i$ ($1 \leq i \leq n$) đều khả vi tại đó: thật vậy, nếu $(\mathbf{e}_i)_{1 \leq i \leq n}$ là cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^n$, thì ta có thể viết $\mathbf{f} = \sum_{i=1}^n \mathbf{e}_i f_i$.

Ví dụ 2

Hàm thực $x^n$ phát sinh từ hàm đa tuyến tính

được xác định trên $\mathbf{R}^n$, bằng cách thay $x$ vào mỗi $x_i$; vậy mệnh đề 3 cho thấy rằng $x^n$ khả vi trên $\mathbf{R}$ và có đạo hàm là $nx^{n-1}$. Do đó hàm đa thức $\mathbf{a}_0 x^n + \mathbf{a}_1 x^{n-1} + \cdots + \mathbf{a}_{n-1} x + \mathbf{a}_n$ (trong đó các $\mathbf{a}_i$ là các vectơ hằng) có đạo hàm là

khi các $\mathbf{a}_i$ là các số thực thì hàm này trùng với đạo hàm của một hàm đa thức như được định nghĩa trong Đại số (A, IV).

Ví dụ 3

Tích vô hướng Euclid $(\mathbf{x}| \mathbf{y})$ (Gen. Top , VI, p. 40) là một ánh xạ song tuyến tính (tất yếu liên tục) từ $\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^n$ vào $\mathbf{R}$. Nếu $\mathbf{f}$ và $\mathbf{g}$ là hai hàm vectơ nhận giá trị trong $\mathbf{R}^n$, và khả vi tại điểm $x_0$, thì hàm thực $x \mapsto (\mathbf{f}(x)|\mathbf{g}(x))$ có đạo hàm bằng $(\mathbf{f}'(x_0)|\mathbf{g}(x_0)) + (\mathbf{f}(x_0)|\mathbf{g}'(x_0))$ tại điểm $x_0$. Có một kết quả tương tự đối với tích vô hướng Hermit trên $\mathbf{C}^n$, khi không gian này được xét như một không gian vectơ trên $\mathbf{R}$.

Hãy xét riêng trường hợp chuẩn Euclid $\| \mathbf{f}(x) \|$ là hằng, do đó $(\mathbf{f}(x)|\mathbf{f}(x)) = \| \mathbf{f}(x) \|^2$ cũng là hằng; khi viết rằng đạo hàm của $(\mathbf{f}(x)|\mathbf{f}(x))$ triệt tiêu tại $x_0$ ta được $(\mathbf{f}(x_0)|\mathbf{f}'(x_0)) = 0$; nói cách khác, $\mathbf{f}'(x_0)$ trực giao với $\mathbf{f}(x_0)$.

Ví dụ 4

Nếu $E$ là một đại số tôpô trên $\mathbf{R}$ (xem Introduction), thì tích $xy$ của hai phần tử của $E$ là một hàm song tuyến tính liên tục của $(x, y)$; nếu $\mathbf{f}$ và $\mathbf{g}$ nhận giá trị trong $E$ và khả vi tại điểm $x_0$, thì hàm $x \mapsto \mathbf{f}(x)\mathbf{g}(x)$ có đạo hàm bằng $\mathbf{f}'(x_0)\mathbf{g}(x_0) + \mathbf{f}(x_0)\mathbf{g}'(x_0)$ tại $x_0$. Đặc biệt, nếu $U(x) = (\alpha_{ij}(x))$ và $V(x) = (\beta_{ij}(x))$ là hai ma trận vuông cấp $n$, khả vi tại $x_0$, thì tích của chúng $UV$ có đạo hàm bằng $U'(x_0)V(x_0) + U(x_0)V'(x_0)$ tại $x_0$ (trong đó $U'(x) = (\alpha'_{ij}(x))$ và $V'(x) = (\beta'_{ij}(x))$).

Ví dụ 5

Định thức $\det(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n)$ của $n$ vectơ $\mathbf{x}_i = (x_{ij})_{1 \leq i \leq n}$ của không gian $\mathbf{R}^n$ (Alg., III, p. 522) là một hàm đa tuyến tính (liên tục) theo các $\mathbf{x}_i$, nên ta thấy rằng nếu $n^2$ hàm thực $f_{ij}$ khả vi tại $x_0$, thì định thức của chúng $g(x) = \det(f_{ij}(x))$ có đạo hàm bằng

Ví dụ 1

Trường hợp riêng quan trọng nhất là trường hợp E là một trong các trường $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$: nếu $f$ là một hàm nhận giá trị thực hoặc phức, khả vi tại điểm $x_0$, và sao cho $f(x_0) \neq 0$, thì $1/f$ có đạo hàm bằng $-f'(x_0)/(f(x_0))^2$ tại $x_0$.

Ví dụ 2

Nếu $U = (\alpha_{ij}(x))$ là một ma trận bình phương cấp $n$, khả vi tại $x_0$ và khả nghịch tại điểm này, thì $U^{-1}$ có đạo hàm bằng $-U^{-1} U' U^{-1}$ tại $x_0$.

Ví dụ

Tại điểm $x = 0$ hàm $x^{1/3}$ (hàm nghịch đảo của $x^3$, một đồng phôi của $\mathbf{R}$ lên chính nó) có đạo hàm, bằng $+\infty$; tại $x = 0$ hàm $|x|^{1/3}$ có đạo hàm phải $+\infty$ và đạo hàm trái $-\infty$.

Các công thức tính đạo hàm của một tổng, của một tích các hàm thực khả vi, và của hàm nghịch đảo của một hàm khả vi (mệnh đề 1, 3 và 4), cũng như công thức tính đạo hàm của một hợp thành (nhận giá trị thực) của các hàm (mệnh đề 5) vẫn còn đúng khi các đạo hàm xuất hiện là vô hạn, miễn là mọi biểu thức xuất hiện trong các công thức ấy đều có nghĩa (Gen Top., IV, p. 345–346). Thật vậy, nếu trong mệnh đề 6 ta giả sử rằng $f$ tăng ngặt (tương ứng giảm nghiêm ngặt) và liên tục trên I, và nếu $f'(x_0) = 0$, thì hàm nghịch đảo $g$ có đạo hàm bằng $+\infty$ (tương ứng $-\infty$) tại điểm $y_0 = f(x_0)$; nếu $f'(x_0) = +\infty$ (tương ứng $-\infty$), thì $g$ có đạo hàm bằng 0. Có những kết quả tương tự đối với các đạo hàm phải và trái, mà chúng tôi để bạn đọc tự xử lý.

Cho C là đồ thị hay đường biểu diễn của một hàm thực hữu hạn $f$, tập con của mặt phẳng $\mathbf{R}^2$ tạo thành bởi các điểm $(x, f(x))$ khi $x$ chạy qua tập hợp trên đó $f$ được xác định. Nếu hàm $f$ có đạo hàm phải hữu hạn tại một điểm $x_0 \in I$, thì nửa đường thẳng có gốc tại điểm $M_{x_0} = (x_0, f(x_0))$ của C, và có các hệ số chỉ phương $(1, f'_d(x_0))$ được gọi là nửa tiếp tuyến phải của đường cong C tại điểm $M_{x_0}$; khi $f'_d(x_0) = +\infty$ (resp. $f'_d(x_0) = -\infty$) ta cũng dùng thuật ngữ ấy cho nửa đường thẳng có gốc $M_{x_0}$ và có các hệ số chỉ phương $(0, 1)$ (resp. $(0, -1)$). Tương tự, người ta định nghĩa nửa tiếp tuyến trái tại $M_{x_0}$ khi $f'_g(x_0)$ tồn tại. Với các định nghĩa này, có thể kiểm tra nhanh rằng góc mà nửa tiếp tuyến phải (resp. trái) tạo với trục hoành là giới hạn của góc mà trục này tạo với nửa đường thẳng xuất phát từ $M_{x_0}$ và chuyển qua điểm $M_1 = (x, f(x))$ của C, khi $x$ tiến tới $x_0$ nhưng vẫn giữ $> x_0$ (resp. $< x_0$).

Cũng có thể nói rằng nửa tiếp tuyến phải (tương ứng trái) là giới hạn của nửa đường thẳng gốc tại $M_{x_0}$ chuyển qua $M_1$, khi ta trang bị cho tập hợp các nửa đường thẳng có cùng gốc tôpô không gian thương $C^*/\mathbf{R}_+^*$ (Top. Gén., VIII, p. 107).

Nếu hai nửa tiếp tuyến tồn tại tại một điểm $M_{x_0}$ của C, thì chúng chỉ có các hướng đối nhau khi $f$ có đạo hàm (hữu hạn hay không) tại điểm $x_0$ (giả sử là điểm trong của I); chúng chỉ trùng nhau khi $f'_d(x_0)$ và $f'_g(x_0)$ là vô hạn và trái dấu. Trong hai trường hợp ấy, ta nói rằng đường thẳng chứa hai nửa tiếp tuyến đó là tiếp tuyến với C tại điểm $M_{x_0}$.

Khi tiếp tuyến tại $M_{x_0}$ tồn tại, nó là giới hạn của đường thẳng đi qua $M_{x_0}$ và $M_1$ khi $x$ tiến tới $x_0$ mà vẫn $\neq x_0$, tôpô trên tập hợp các đường thẳng đi qua một điểm cố định cho trước là tôpô của không gian thương $C^*/\mathbf{R}^*$ (Gen. Top., VIII, p. 114).

Các khái niệm tiếp tuyến và nửa tiếp tuyến của một đồ thị là những trường hợp riêng của các khái niệm tổng quát sẽ được định nghĩa trong phần của Bộ sách này dành cho các đa tạp khả vi.