习题 5, § 3

令 $f$ 为定义在 $+\infty$ 的邻域上的*凸*实数函数，使得 $f(x) \gg x$。有人说，$f$在$+\infty$的邻域上*规则凸*，如果对于*每个*凸函数$g$定义在$+\infty$的邻域上，并且$f \sim g$也有$f'_d \sim g'_d$。

对于每个数 $\alpha > 0$ 和 $x$ 足够大，令 $k(\alpha, x)$ 为数 $\left( f(y) - (y-x)f'_d(y) \right)/f(x)$ 的下确界，因为 $y$ 贯穿数 $\geq x$ 的集合，使得$f'_d(y) \leq (1+\alpha)f'_d(x)$。类似地令 $h(\alpha, x)$ 为数的下确界

因为$z$穿过数$\leq x$的集合，因此$f'_d(z) \geq (1-\alpha)f'_d(x)$。让$\psi(\alpha) = \limsup_{x \to +\infty} k(\alpha, x)$，$\varphi(\alpha) = \limsup_{x \to +\infty} h(\alpha, x)$。证明，要使 $f$ 在 $+\infty$ 的邻域上规则凸，对于所有足够小的 $\alpha$，有 $\psi(\alpha) < 1$ 和 $\varphi(\alpha) < 1$ 是充分必要的。