Bài tập 5, § 3

Cho $f$ là một hàm thực lồi được xác định trên một lân cận của $+\infty$ sao cho $f(x) \gg x$. Ta nói rằng $f$ là lồi chính quy trên một lân cận của $+\infty$ nếu, với mọi hàm lồi $g$ được xác định trên một lân cận của $+\infty$ và sao cho $f \sim g$, ta cũng có $f'_d \sim g'_d$.

Với mọi số $\alpha > 0$ và $x$ đủ lớn, gọi $k(\alpha, x)$ là cận dưới lớn nhất của các số $\left( f(y) - (y-x)f'_d(y) \right)/f(x)$ khi $y$ chạy qua tập hợp các số $\geq x$ sao cho $f'_d(y) \leq (1+\alpha)f'_d(x)$. Tương tự, gọi $h(\alpha, x)$ là cận dưới lớn nhất của các số

khi $z$ chạy qua tập hợp các số $\leq x$ sao cho $f'_d(z) \geq (1-\alpha)f'_d(x)$. Đặt $\psi(\alpha) = \limsup_{x \to +\infty} k(\alpha, x)$, $\varphi(\alpha) = \limsup_{x \to +\infty} h(\alpha, x)$. Chứng minh rằng để $f$ lồi chính quy trên một lân cận của $+\infty$ thì điều kiện cần và đủ là với mọi $\alpha$ đủ nhỏ ta có $\psi(\alpha) < 1$ và $\varphi(\alpha) < 1$.