Exercice 5, § 3

Soit $f$ une fonction numérique convexe définie dans un voisinage de $+\infty$, telle que $f(x) \gg x$. On dit que $f$ est régulièrement convexe au voisinage de $+\infty$ si, pour toute fonction convexe $g$ définie dans un voisinage de $+\infty$ et telle que $f \sim g$, on a aussi $f'_d \sim g'_d$.

Pour tout nombre $\alpha > 0$ et tout $x$ assez grand, soit $h(\alpha, x)$ la borne inférieure des nombres $(f(y) - (y - x)f'_d(y))/f(x)$ lorsque $y$ parcourt l’ensemble des nombres $\geqslant x$ tels que $f'_d(y) \leqslant (1 + \alpha)f'_d(x)$. Soit de même $h(\alpha, x)$ la borne inférieure des nombres

lorsque $z$ parcourt l’ensemble des nombres $\leqslant x$ tels que $f'_d(z) \geqslant (1 - 0)f'_d(x)$. Soient $\psi(\alpha) = \limsup_{x \to +\infty} k(\alpha, x)$, $\varphi(\alpha) = \limsup_{x \to +\infty} h(\alpha, x)$. Montrer que, pour que $f$ soit régulièrement convexe au voisinage de $+\infty$, il faut et il suffit que, pour tout $\alpha > 0$ assez petit, on ait $\psi(\alpha) < 1$ et $\varphi(\alpha) < 1$.