习题 6, § 3

令 $\mathbf{f}$ 为间隔 $[x_0, +\infty[$ 为 $\mathbf{R}$ 的连续向量函数，并且对于所有 $\lambda \geqslant 0$ 函数 $\mathbf{f}(x + \lambda) - \mathbf{f}(x)$ 趋于 0，当 $x$ 趋于 $+\infty$ 时。

a) Show that $\mathbf{f}(x + \lambda) - \mathbf{f}(x)$ tends uniformly to 0 with $1/x$ when $\lambda$ belongs to any compact interval $K = [a, b]$ of $[0, +\infty[$. (Argue by contradiction: if there exists a sequence $(x_n)$ tending to $+\infty$ and a sequence of points $(\lambda_{n_k})$ of $K$ such that

for every $n$, then there exists a neighbourhood $J_n$ of $\lambda_n$ in $K$ such that, for every $\lambda \in J_n$, one has $\|\mathbf{f}(x_n + \lambda) - \mathbf{f}(x_n)\| > \alpha$. 构造由闭区间$I_k \subset K$ 的归纳递减序列和$(x_n)$ 的子序列$(x_{n_k})$ 组成，使得每个$\lambda \in I_k$ 都有$\|\mathbf{f}(x_{n_k} + \lambda) - \mathbf{f}(x_{n_k})\| \geqslant \alpha/3$； 注为此，如果$\delta_k$是$I_k$和$q$整数的长度，使得$q \delta_k > b - a$，则$\|\mathbf{f}(x + \delta_k) - \mathbf{f}(x)\| \leqslant \alpha/3q$一旦$x$是足够大。）

b) 从a)推导出$\int_x^{x+1} \mathbf{f}(t)\,dt - \mathbf{f}(x)$趋于0，因为$x$趋于$+\infty$，并且结论趋于$\mathbf{f}(x) = o(x)$。