Exercice 6, § 3

Soient $\mathbf{f}$ une fonction vectorielle continue dans un intervalle $(x_0, +\infty[$ de $\mathbf{R}$ et telle que, pour tout $\lambda \geqslant 0$, la fonction $\mathbf{f}(x + \lambda) - \mathbf{f}(x)$ tende vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$. a) Montrer que $\mathbf{f}(x + \lambda) - \mathbf{f}(x)$ tend uniformément vers 0 avec $1/x$ lorsque $\lambda$ appartient à un intervalle compact quelconque $K = [a, b]$ de $(0, +\infty[$. (Raisonner par l’absurde: s’il existe une suite $(x_n)$ tendant vers $+\infty$ et une suite $(\lambda_n)$ de points de $K$ telles que

pour tout $n$, il existe un voisinage $J_n$ de $\lambda_n$ dans $K$ tel que $\| \mathbf{f}(x_n + \lambda) - \mathbf{f}(x_n) \| > \alpha$ pour tout $\lambda \in J_n$. Construire par récurrence une suite décroissante d’intervalles fermés $I_k \subset K$, et une suite $(x_{n_k})$ extraite de $(x_n)$, telles que $\| \mathbf{f}(x_{n_k} + \lambda) - \mathbf{f}(x_{n_k}) \| \geqslant \alpha/3$ pour tout $\lambda \in I_k$; on remarquera pour cela que si $\delta_k$ est la longueur de $I_k$ et $q$ un entier tel que $q \delta_k > b - a$, on a $\| \mathbf{f}(x + \delta_k) - \mathbf{f}(x) \| \leqslant \alpha/3q$ dès que $x$ est assez grand). b) Déduire de a) que $\int_x^{x+1} \mathbf{f}(t) dt - \mathbf{f}(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$, et en conclure que l’on a $\mathbf{f}(x) = o(x)$.