Bài tập 6, § 3

Cho $\mathbf{f}$ là một hàm vectơ liên tục trên một khoảng $[x_0, +\infty[$ của $\mathbf{R}$ và sao cho với mọi $\lambda \geqslant 0$ hàm $\mathbf{f}(x + \lambda) - \mathbf{f}(x)$ tiến tới 0 khi $x$ tiến tới $+\infty$.

a) Chứng minh rằng $\mathbf{f}(x + \lambda) - \mathbf{f}(x)$ tiến đều tới 0 theo $1/x$ khi $\lambda$ thuộc một khoảng compact bất kỳ $K = [a, b]$ của $[0, +\infty[$. (Lập luận bằng phản chứng: nếu tồn tại một dãy $(x_n)$ tiến tới $+\infty$ và một dãy các điểm $(\lambda_{n_k})$ của $K$ sao cho

với mọi $n$, thì tồn tại một lân cận $J_n$ của $\lambda_n$ trong $K$ sao cho, với mọi $\lambda \in J_n$, ta có $\|\mathbf{f}(x_n + \lambda) - \mathbf{f}(x_n)\| > \alpha$. Xây dựng bằng quy nạp một dãy giảm các khoảng đóng $I_k \subset K$ và một dãy con $(x_{n_k})$ của $(x_n)$ sao cho $\|\mathbf{f}(x_{n_k} + \lambda) - \mathbf{f}(x_{n_k})\| \geqslant \alpha/3$ với mọi $\lambda \in I_k$; nhận xét rằng nếu $\delta_k$ là độ dài của $I_k$ và $q$ là một số nguyên sao cho $q \delta_k > b - a$, thì $\|\mathbf{f}(x + \delta_k) - \mathbf{f}(x)\| \leqslant \alpha/3q$ một khi $x$ đủ lớn.)

b) Suy ra từ a) rằng $\int_x^{x+1} \mathbf{f}(t)\,dt - \mathbf{f}(x)$ tiến tới 0 khi $x$ tiến tới $+\infty$, và kết luận rằng $\mathbf{f}(x) = o(x)$.