Bourbaki

习题 1, § 2

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实变函数, VI, 292

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

建立公式

tan⁡z=∑n=1∞(−1)n−122n(22n−1)b2nz2n−1(2n)! \tan z = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n} - 1) b_{2n} \frac{z^{2n-1}}{(2n)!}
1sin⁡z=1z+∑n=1∞(−1)n−12(22n−1−1)b2nz2n−1(2n)! \frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} 2 (2^{2n-1} - 1) b_{2n} \frac{z^{2n-1}}{(2n)!}

这里右侧的级数绝对收敛，第一个为∣z∣<π2|z| < \frac{\pi}{2}，第二个为∣z∣<π|z| < \pi（将tan⁡z\tan z和1/sin⁡2z1/\sin 2z表示为cot⁡z\cot z和cot⁡2z\cot 2z的线性组合）。推断数22n(22n−1)2nb2n\frac{2^{2n}(2^{2n} - 1)}{2n} b_{2n}是整数。 （使用下面的引理：在两个绝对收敛的级数∑n=0∞αnznn!\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n \frac{z^n}{n!}，∑n=0∞βnznn!\sum_{n=0}^{\infty} \beta_n \frac{z^n}{n!}中，系数αn\alpha_n和βn\beta_n是整数，那么，在用形式∑n=0∞γnznn!\sum_{n=0}^{\infty} \gamma_n \frac{z^n}{n!}写成的乘积中， γn\gamma_n 是整数。）

解答

尚未写出解答。

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引用了

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