Exercice 1, § 2

Démontrer les formules

où les séries du second membre sont absolument convergentes, la première pour $|z| < \frac{\pi}{2}$ et la seconde pour $|z| < \pi$ (exprimer $\operatorname{tg} z$ et $1/\sin 2z$ comme combinaisons linéaires de $\operatorname{cotg} z$ et $\operatorname{cotg} 2z$). En déduire que les nombres $\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{2n} b_{2n}$ sont entiers. (On utilisera le lemme suivant: si, dans deux séries absolument convergentes $\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n \frac{z^n}{n!}$, $\sum_{n=0}^{\infty} \beta_n \frac{z^n}{n!}$, les coefficients $\alpha_n$ et $\beta_n$ sont entiers, dans leur produit écrit sous la forme $\sum_{n=0}^{\infty} \gamma_n \frac{z^n}{n!}$, les $\gamma_n$ sont entiers.)