Bài tập 1, § 2

đối với $p$ là một số nguyên tố, có nghĩa là khi $r$ được biểu diễn dưới dạng một phân số bất khả quy thì mẫu số của nó không chia hết cho $p$; người ta viết $r \equiv 0$ (mod. $p$) để biểu thị sự kiện rằng $r / p$ là một số nguyên $p$-adic, và $r \equiv r'$ (mod. $p$) tương đương theo định nghĩa với $r - r' \equiv 0$ (mod. $p$).

Cho $m$ là một số nguyên hữu tỉ; hàm $F_m(z) = \frac{m}{e^{mz} - 1} - \frac{1}{e^z - 1}$ là giải tích với $|z|$ đủ nhỏ, do đó có thể được viết thành một chuỗi nguyên hội tụ trong một lân cận của $z = 0$:

Chứng minh rằng cũng trong một lân cận của $0$

trong đó các $c_n$ là các số nguyên $p$-adic; suy ra rằng các số $a_n = (m^n - 1) \frac{b_n}{n}$ là các số nguyên $p$-adic; hơn nữa, ta có $a_{n+p-1} \equiv a_n$ (mod. $p$).

Suy ra từ a) rằng nếu $p - 1$ không chia hết cho $n$, thì $b_n / n$ là một số nguyên $p$-adic và rằng

(các đồng dư Kummer). (Lấy $m$ là một số nguyên mà lớp của nó mod. $p$ là một phần tử sinh của nhóm nhân các phần tử khả nghịch của $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ (Đại số, VII. 12).)

10) Với ký hiệu của Bài tập 9, chứng minh rằng các số $m^n a_n = m^n(m^n - 1)b_n/n$ là các số nguyên (viết $F_m(z)$ dưới dạng thương của hai đa thức theo $e^z$). Suy ra rằng (đối với $n$ chẵn $\geqslant 2$) mẫu số $\delta_n$ của $b_n/n$ ở dạng bất khả quy có tính chất là, với mọi số nguyên m nguyên tố cùng nhau với n, ta có $m^n \equiv 1$ (mod. $\delta_n$). Hơn nữa, nếu một số nguyên d sao cho $m^n \equiv 1$ (mod. d) với mọi số nguyên m nguyên tố cùng nhau với n, thì d chia hết cho $\delta_n$ (dùng định lý Clausen-von Staudt và cấu trúc của nhóm nhân của $\mathbf{Z}/d\mathbf{Z}$ (Đại số, VII. 12)).

11) a) Cho p là một số nguyên tố $\neq 2$. Khi đó các tính chất sau là tương đương:

$\alpha)$ $b_n/n \not\equiv 0$ (mod. p) với mọi n chẵn sao cho $p - 1$ không chia hết cho n.

$\beta)$ $b_n \not\equiv 0$ (mod. p) với $n = 2, 4, 6, \ldots, p - 3$. (Dùng Bài tập 9b).)

b) Người ta nói rằng p là một số nguyên tố chính quy nếu nó bằng 2 hoặc thỏa mãn các điều kiện tương đương của a); ngược lại p được gọi là không chính quy. Các số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11 là chính quy; 691 là không chính quy. Cho I là một tập hữu hạn các số nguyên tố không chính quy. Cho n là một số nguyên $\geqslant 2$ là bội của $\prod_{q \in I} (q - 1)$ và sao cho $|b_n/n| > 1$, (xem VI, p. 288, công thức (15)). Cho p là một nhân tử nguyên tố của tử số của $|b_n/n|$ ở dạng bất khả quy. Chứng minh rằng $p - 1$ không chia hết cho n và do đó p là không chính quy. Suy ra rằng tập hợp các số nguyên tố không chính quy là vô hạn.

12) Với mọi đa thức Q có các hệ số thực sao cho Q(0) = Q(1), người ta ký hiệu $\tilde{Q}$ là hàm liên tục trên $\mathbf{R}$ sao cho $\tilde{Q}(x) = Q(x)$ với $0 \leqslant x \leqslant 1$ và $\tilde{Q}(x + 1) = \tilde{Q}(x)$ với mọi $x \in \mathbf{R}$.

a) Với mọi số nguyên $m \geqslant 2$, đa thức Bernoulli $B_m$ là đa thức Q duy nhất với các hệ số thực, có bậc m, đơn thức, và sao cho $\int_0^1 Q(x)\,dx = 0$, $Q(1) = Q(0)$ và sao cho hàm $\tilde{Q}$ khả vi $m - 2$ lần trên $\mathbf{R}$ và có đạo hàm bậc $(m - 2)^{nd}$ liên tục. (Lập luận bằng quy nạp theo m.)

b) Chứng minh rằng với $m \geqslant 1$

*c) Suy ra từ b) rằng, với $0 \leqslant x \leqslant 1$ và $m \geqslant 2$ ta có

chuỗi là hội tụ chuẩn.

13) Cho f là một số nguyên $\geqslant 1$, và $\chi$ là một hàm xác định trên $\mathbf{Z}$, nhận các giá trị phức, sao cho $\chi(x + f) = \chi(x)$ với mọi $x \in \mathbf{Z}$. Nếu đặt

thì có

Suy ra từ bài tập 12 rằng, với mọi số nguyên $m \geqslant 2$,

Chẳng hạn, ta có