习题 12, § 2

对于每个具有实数系数且满足 Q(0) = Q(1) 的多项式 Q，可以为 $\mathbf{R}$ 上的连续函数写出 $\tilde{Q}$，从而为 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 写出 $\tilde{Q}(x) = Q(x)$，为每个 $x \in \mathbf{R}$ 写出 $\tilde{Q}(x + 1) = \tilde{Q}(x)$。

a) 对于每个整数 $m \geqslant 2$，伯努利多项式 $B_m$ 是唯一的多项式 Q，其实数系数为次数 m，单调，并且使得 $\int_0^1 Q(x)\,dx = 0$、$Q(1) = Q(0)$ 以及函数 $\tilde{Q}$ 是 $m - 2$ 倍在 $\mathbf{R}$ 上可微，并且具有连续的 $(m - 2)^{nd}$ 导数。 （通过 m 的递归进行论证。）

b) 证明对于 $m \geqslant 1$

*c) 从 b) 推出，对于 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 和 $m \geqslant 2$ 有

级数通常收敛。