Bài tập 12, § 2

Cho mọi đa thức $Q$ với các hệ số thực, sao cho $Q(0) = Q(1)$, ký hiệu $\tilde{Q}$ là hàm liên tục trong $\mathbf{R}$ sao cho $\tilde{Q}(x) = Q(x)$ với $0 \leq x \leq 1$ và $\tilde{Q}(x+1) = \tilde{Q}(x)$ với mọi $x \in \mathbf{R}$. a) Với mọi số nguyên $m \geq 2$, đa thức Bernoulli $B_m$ là đa thức duy nhất với các hệ số thực, $Q$ có bậc $m$, đơn thức và sao cho có $\int_0^1 Q(x) dx = 0$, $Q(1) = Q(0)$ và hàm $\tilde{Q}$ khả vi $m - 2$ lần trong $\mathbf{R}$ và có đạo hàm bậc $(m - 2)$ liên tục. (Lý luận bằng quy nạp theo $m$.) b) Chứng minh rằng, với $m \geq 1$, ta có

\* c) Suy ra từ b) rằng, với $0 \leq x \leq 1$ và $m \geq 2$, ta có

chuỗi này hội tụ chuẩn.*