Exercice 12, § 2

Fonctions d’une variable réelle, VI, p. 25

Pour tout polynôme $Q$ à coefficients réels, tel que $Q(0) = Q(1)$ , on note $\tilde{Q}$ la fonction continue dans $\mathbf{R}$ telle que $\tilde{Q}(x) = Q(x)$ pour $0 \leq x \leq 1$ et $\tilde{Q}(x+1) = \tilde{Q}(x)$ pour tout $x \in \mathbf{R}$ . a) Pour tout entier $m \geq 2$ , le polynôme de Bernoulli $B_m$ est l’unique polynôme à coefficients réels, $Q$ de degré $m$ , unitaire et tel que l’on ait $\int_0^1 Q(x) dx = 0$ , $Q(1) = Q(0)$ et que la fonction $\tilde{Q}$ soit $m - 2$ fois dérivable dans $\mathbf{R}$ et ait une dérivée $(m - 2)$ -ème continue. (Raisonner par récurrence sur $m$ .) b) Montrer que l’on a, pour $m \geq 1$

\int_0^1 B_m(x) e^{-2\pi inx} dx = \begin{cases} 0 & \text{si } n = 0 \\ -\frac{m!}{(2\pi i)^m} & \text{si } n \neq 0 \text{ dans } \mathbf{Z}. \end{cases}

\* c) Déduire de b) que, pour $0 \leq x \leq 1$ et $m \geq 2$ , on a

B_m(x) = -\frac{m!}{(2\pi i)^m} \sum_{n \in \mathbf{Z} - \{0\}} \frac{e^{2\pi inx}}{n^m}

la série étant normalement convergente.*

Solution

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