习题 6, § 2

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实变函数, VI, 293

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a) 有理数数 $b_n$ 由VI、p. 275的公式(20)定义，其中1用 $d_n$ 表示 $b_n$ 的分母 $> 0$ ，写成不可约分数。证明 $d_n$ 的素数因子不能是 $> n+1$ （使用 VI、p. 276 的归纳公式 (23)）

b) 证明对于每个整数 $p > 0$ 和每个整数 $n > 0$

S_n(p) = b_n p + \binom{n}{1} \frac{p}{2} b_{n-1} p + \cdots + \binom{n}{r} \frac{p'}{r+1} b_{n-r} p + \cdots + \frac{p^{n+1}}{n+1}.

c) 通过在 $n$ 上递归，从 b) 中推出，对于每个质数数 $p$ ，写成不可约分数的 $S_n(p) - b_n p$ 分母不能被 $p$ 整除（观察 $p'$ 不能除 $r+1$ ）。

d) 从 c) 推出数

b_n - \sum_p \frac{S_n(p)}{p}

其中 $p$ 穿过素数数 $p \leq n + 1$ 的集合且 $n$ 是偶数，是整数。推断出

b_{2n} + \sum_p \frac{1}{p}

其中 $p$ 穿过素数数的集合，使得 $p - 1$ 除 $2n$ 为整数（Eisenstein-von Staudt 定理；使用 exerc.5 c）。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。