Bài tập 6, § 2

a) Các số hữu tỉ $b_n$ đã được định nghĩa bởi công thức (20) của VI, p. 275, ta ký hiệu bởi $d_n$ mẫu số $> 0$ của $b_n$ được viết dưới dạng phân số bất khả quy. Chứng minh rằng không có nhân tố nguyên tố nào của $d_n$ có thể $> n+1$ (sử dụng công thức quy nạp (23) của VI, p. 276)

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $p > 0$ và mọi số nguyên $n > 0$

c) Suy ra từ b) bằng quy nạp theo $n$ rằng, với mọi số nguyên tố $p$, mẫu số của $S_n(p) - b_n p$ được viết dưới dạng phân số bất khả quy, không chia hết cho $p$ (nhận xét rằng $p'$ không thể chia hết $r+1$).

Suy ra từ c) rằng số

trong đó $p$ chạy qua tập hợp các số nguyên tố $p \leq n + 1$ và $n$ là chẵn, là một số nguyên. Suy ra rằng

trong đó $p$ chạy qua tập hợp các số nguyên tố sao cho $p - 1$ chia hết $2n$, là một số nguyên (định lý Eisenstein-von Staudt; sử dụng Bài tập 5 c).

Ta chấp nhận rằng với mọi số nguyên $a > 0$ có vô hạn số nguyên tố trong tập hợp các số nguyên $1 + ma$ ($m$ chạy qua tập hợp các số nguyên $\geq 1$; đây là một trường hợp riêng của định lý Dirichlet về các cấp số cộng).

Cho $n$ là một số nguyên $\geq 1$, và cho $s \geq 1$ là một số nguyên sao cho $q = 1 + (2n + 1)!s$ là số nguyên tố; chứng minh rằng nếu $p$ là một số nguyên tố sao cho $p - 1$ chia hết $2nq$ thì $p - 1$ phải chia hết $2n$ (trong trường hợp đối lại, ta sẽ có $p - 1 = qd$ với $d$ là một số nguyên, và $p$ sẽ chia hết cho $d + 1$).

Suy ra từ a) rằng với mọi số nguyên $n > 0$ tồn tại vô hạn số nguyên $m > n$ sao cho $b_{2m} - b_{2n}$ là một số nguyên.*

Chứng minh rằng, với mọi số nguyên tố $p > 3$, $S_{2n}(p^k) - p^k b_{2n}$, được viết dưới dạng phân số bất khả quy, có tử số chia hết cho $p^{2k}$ (lập luận như trong Bài tập 6).

Nói rằng một số hữu tỉ $r$ là một số nguyên $p$-adic (\emph{Gen. Top.}, III, p. 322, Bài tập 1) đối với $p$ là một số nguyên tố, có nghĩa là khi $r$ được biểu diễn dưới dạng một phân số bất khả quy thì mẫu số của nó không chia hết cho $p$; ta viết $r \equiv 0$ (mod. $p$) để biểu thị sự kiện rằng $r / p$ là một số nguyên $p$-adic, và $r \equiv r'$ (mod. $p$) tương đương theo định nghĩa với $r - r' \equiv 0$ (mod. $p$).

Cho $m$ là một số nguyên hữu tỉ; hàm $F_m(z) = \frac{m}{e^{mz} - 1} - \frac{1}{e^z - 1}$ là giải tích với $|z|$ đủ nhỏ, do đó có thể được viết dưới dạng một chuỗi toàn thể hội tụ trong một lân cận của $z = 0$:

Chứng minh rằng cũng trong một lân cận của $0$

trong đó các $c_n$ là các số nguyên $p$-adic; suy ra rằng các số $a_n = (m^n - 1) \frac{b_n}{n}$ là các số nguyên $p$-adic; hơn nữa, ta có $a_{n+p-1} \equiv a_n$ (mod. $p$).

Suy ra từ a) rằng nếu $p - 1$ không chia hết cho $n$, thì $b_n / n$ là một số nguyên $p$-adic và rằng

(các đồng dư thức của Kummer). (Lấy cho m một số nguyên sao cho lớp của nó mod. p là một phần tử sinh của nhóm nhân của các phần tử khả nghịch của $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ (Alg., VII. 12).)

10) Với ký hiệu của Bài tập 9, chứng minh rằng các số $m^n a_n = m^n(m^n - 1)b_n/n$ là các số nguyên (viết $F_m(z)$ dưới dạng thương của hai đa thức theo $e^z$). Suy ra rằng (với n chẵn $\geqslant 2$) mẫu số $\delta_n$ của $b_n/n$ ở dạng bất khả quy có tính chất là, với mọi số nguyên m nguyên tố cùng nhau với n, ta có $m^n \equiv 1$ (mod. $\delta_n$). Hơn nữa, nếu một số nguyên d sao cho $m^n \equiv 1$ (mod. d) với mọi số nguyên m nguyên tố cùng nhau với n, thì d chia hết cho $\delta_n$ (sử dụng định lý Clausen-von Staudt và cấu trúc của nhóm nhân của $\mathbf{Z}/d\mathbf{Z}$ (Alg., VII. 12)).

11) a) Cho p là một số nguyên tố $\neq 2$. Khi đó các tính chất sau là tương đương:

$\alpha)$ $b_n/n \not\equiv 0$ (mod. p) với mọi n chẵn sao cho $p - 1$ không chia hết cho n.

$\beta)$ $b_n \not\equiv 0$ (mod. p) với $n = 2, 4, 6, \ldots, p - 3$. (Sử dụng Bài tập 9b).)

b) Người ta nói rằng p là một số nguyên tố chính quy nếu nó bằng 2 hoặc thỏa mãn các điều kiện tương đương của a); nếu không thì p được gọi là không chính quy. Các số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11 là chính quy; 691 là không chính quy. Cho I là một tập hợp hữu hạn các số nguyên tố không chính quy. Cho n là một số nguyên $\geqslant 2$ là bội của $\prod_{q \in I} (q - 1)$ và sao cho $|b_n/n| > 1$, (xem VI, p. 288, công thức (15)). Cho p là một nhân tử nguyên tố của tử số của $|b_n/n|$ ở dạng bất khả quy. Chứng minh rằng $p - 1$ không chia hết cho n và do đó p là không chính quy. Suy ra rằng tập hợp các số nguyên tố không chính quy là vô hạn.

12) Với mọi đa thức Q với các hệ số thực sao cho Q(0) = Q(1), ta ký hiệu $\tilde{Q}$ là hàm liên tục trên $\mathbf{R}$ sao cho $\tilde{Q}(x) = Q(x)$ với $0 \leqslant x \leqslant 1$ và $\tilde{Q}(x + 1) = \tilde{Q}(x)$ với mọi $x \in \mathbf{R}$.

a) Với mọi số nguyên $m \geqslant 2$, đa thức Bernoulli $B_m$ là đa thức Q duy nhất với các hệ số thực, có bậc m, đơn nhất, và sao cho $\int_0^1 Q(x)\,dx = 0$, $Q(1) = Q(0)$ và sao cho hàm $\tilde{Q}$ khả vi $m - 2$ lần trên $\mathbf{R}$ và có đạo hàm liên tục $(m - 2)^{nd}$. (Lập luận bằng quy nạp theo m.)

b) Chứng minh rằng với $m \geqslant 1$

*c) Suy ra từ b) rằng, với $0 \leqslant x \leqslant 1$ và $m \geqslant 2$ ta có

chuỗi hội tụ bình thường.

13) Cho f là một số nguyên $\geqslant 1$, và $\chi$ là một hàm xác định trên $\mathbf{Z}$, với các giá trị phức, sao cho $\chi(x + f) = \chi(x)$ với mọi $x \in \mathbf{Z}$. Nếu đặt

thì có

Suy ra từ bài tập 12 rằng, với mọi số nguyên $m \geqslant 2$,

Ví dụ, ta có