Exercice 6, § 2

Fonctions d’une variable réelle, VI, p. 24

a) Les nombres rationnels $b_n$ étant définis par la formule (20) de VI, p. 7, on note $d_n$ le dénominateur $> 0$ de $b_n$ écrit sous forme de fraction irréductible. Montrer qu’aucun facteur premier de $d_n$ ne peut être $> n + 1$ (utiliser la formule de récurrence (23) de VI, p. 8). b) Montrer que l’on a, pour tout entier $p > 0$ et tout entier $n > 0$

S_n(p) = b_n p + \binom{n}{1} \frac{p}{2} b_{n+1} p + \cdots + \binom{n}{r} \frac{p^r}{r+1} b_{n-r} p + \cdots + \frac{p^{n+1}}{n+1}.

c) Déduire de b) par récurrence sur $n$ que, pour tout nombre premier $p$ le dénominateur de $S_n(p) - b_n p$ écrit sous forme de fraction irréductible, n’est pas divisible par $p$ (observer que $p^{r+1}$ ne peut diviser $r + 1$ ). d) Déduire de c) que le nombre

b_n - \sum_p \frac{S_n(p)}{p}

où $p$ parcourt l’ensemble des nombres premiers $p \leq n + 1$ et $n$ est pair, est un nombre entier. Conclure que

b_{2n} + \sum_p \frac{1}{p}

où $p$ parcourt l’ensemble des nombres premiers tels que $p - 1$ divise $2n$ , est un entier (théorème de Clausen-von Staudt; utiliser l’exerc. 5 e).

Solution

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