习题 9, § 2

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实变函数, VI, 294

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说有理数数 $r$ 是 $p$ -adic 整数 (\emph{Gen. Top.}, III, p. 322, exerc. 1) 对于 $p$ 是质数数，意味着当 $r$ 表示为不可约分数，其分母不能被 $p$ 整除；写 $r \equiv 0$ (mod. $p$ ) 来表达 $r / p$ 是 $p$ -adic 整数，而 $r \equiv r'$ (mod. $p$ ) 等价于定义到 $r - r' \equiv 0$ (mod. $p$ )。

a) 令 $m$ 为有理数整数；函数 $F_m(z) = \frac{m}{e^{mz} - 1} - \frac{1}{e^z - 1}$ 对 $|z|$ 的解析足够小，因此可以写为收敛于 $z = 0$ 的邻域的整个级数：

F_m(z) = \sum_{n=1}^\infty (m^n - 1) \frac{b_n}{n} \frac{z^{n-1}}{(n-1)!}.

也在 $0$ 的邻域上显示

F_m(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (e^z - 1)^n

其中 $c_n$ 是 $p$ -adic 整数；推断数 $a_n = (m^n - 1) \frac{b_n}{n}$ 是 $p$ -adic 整数；此外，还有 $a_{n+p-1} \equiv a_n$ （mod. $p$ ）。

b) 从 a) 推导出，如果 $p - 1$ 不是除 $n$ ，则 $b_n / n$ 是 $p$ -adic 整数并且

\frac{b_{n+p-1}}{n+p-1} \equiv \frac{b_n}{n} \pmod{p}

（库默同余）。（取m整数，其类模。p为 $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ 可逆元乘法群生成元（代数，VII。12）。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。