Bài tập 9, § 2

Nói rằng một số hữu tỉ $r$ là một số nguyên $p$-adic (TG, III, p. 84, exerc. 23) đối với một số nguyên tố $p$ có nghĩa là, khi $r$ được viết dưới dạng một phân số bất khả quy, mẫu số của nó không chia hết cho $p$; người ta viết $r \equiv 0 \pmod{p}$ để biểu thị rằng $r/p$ là một số nguyên $p$-adic, và $r \equiv r' \pmod{p}$ tương đương theo định nghĩa với $r' - r \equiv 0 \pmod{p}$. a) Cho $m$ là một số nguyên hữu tỉ; hàm $F_m(z) = \frac{m}{e^{mx} - 1} - \frac{1}{e^x - 1}$ là giải tích với $|z|$ đủ nhỏ và do đó có thể được viết dưới dạng một chuỗi lũy thừa hội tụ trong một lân cận của 0

Bây giờ chứng minh rằng ta cũng có trong một lân cận của 0

trong đó các $c_n$ là các số nguyên $p$-adic; suy ra rằng các số $a_n = (m^n - 1) \frac{b_n}{n}$ là các số nguyên $p$-adic; hơn nữa ta có $a_{n+p-1} \equiv a_n \pmod{p}$.

b) Suy ra từ a) rằng nếu $p - 1$ không chia hết cho $n$, thì $b_n/n$ là một số nguyên $p$-adic và ta có

(các đồng dư thức Kummer). (Lấy $m$ là một số nguyên mà lớp của nó mod. $p$ là một phần tử sinh của nhóm nhân các phần tử khả nghịch của $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ (A, VII, § 2, n° 4).)