Exercice 9, § 2

Dire qu’un nombre rationnel $r$ est un entier $p$-adique (TG, III, p. 84, exerc. 23) pour un nombre premier $p$ signifie que, lorsque $r$ est mis sous forme de fraction irréductible, son dénominateur n’est pas divisible par $p$; on écrit $r \equiv 0 \pmod{p}$ pour exprimer que $r/p$ est un entier $p$-adique, et $r \equiv r' \pmod{p}$ est équivalent par définition à $r' - r \equiv 0 \pmod{p}$. a) Soit $m$ un entier rationnel; la fonction $F_m(z) = \frac{m}{e^{mx} - 1} - \frac{1}{e^x - 1}$ est analytique pour $|z|$ assez petit et s’écrit donc sous forme de série entière convergente au voisinage de 0

Montrer qu’on a aussi au voisinage de 0

où les $c_n$ sont entiers $p$-adiques; en déduire que les nombres $a_n = (m^n - 1) \frac{b_n}{n}$ sont entiers $p$-adiques; en outre on a $a_{n+p-1} \equiv a_n \pmod{p}$.

b) Déduire de a) que si $p - 1$ ne divise pas $n$, $b_n/n$ est entier $p$-adique et que l’on a

(congruences de Kummer). (Prendre pour $m$ un entier dont la classe mod. $p$ est un générateur du groupe multiplicatif des éléments inversibles de $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ (A, VII, § 2, n° 4).)