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历史注记

（注意：罗马数字指的是在注末尾找到的参考书目。）

根据实参数 $\lambda$ 并等于 $u_n$ （对于 $\lambda = n$ ）的积分，通过值“插值”序列 $(u_n)$ 的想法可以追溯到 Wallis (III, p. 55)。正是这个想法主要指导了欧拉，在 1730 年 ((I), v. XIV, p. 1-24) 他集合亲自对阶乘的序列进行插值。他首先指出， $n!$ 等于无限乘积

\prod_{k=1}^{\infty} \left( \frac{k+1}{k} \right)^n \frac{k}{k+n},

，其中乘积是为

n

中的每个值（或不是整数）定义的，特别是，对于值

n = \frac{1}{2}

，它需要值

\frac{1}{2} \sqrt{\pi}

，沃利斯的公式。这个结果与沃利斯的结果之间的类比促使他重新审视积分

\int_0^1 x^e (1-x)^n dx

(n

整的，

e

任意）后者已经考虑过了。欧拉获得值

\frac{n!}{(e+1)(e+2)\ldots(e+n+1)}

对于它，使用二项式展开；变量的变换然后向他表明

n!

是极限，因为

z

趋于0，整的

\int_0^1 \left( \frac{1-x^z}{z} \right)^n dx,

从而“第二欧拉积分”

n! = \int_0^1 \left( \log \frac{1}{x} \right)^n dx;

通过同样的方法，并使用沃利斯的公式，他得到了公式

\int_0^1 \sqrt{\log 1/x} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}.

在他后来的著作中，欧拉经常回到这些积分。因此他发现了补数’ 关系 ((I), t.XV, p 82 和 t.XVII, p. 342), 公式

\mathbf{B}(p, q) = \Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p+q)

((I), t.XVII, p. 355)，以及勒让德-高斯公式相应的至

x = 1

((I)，t. XIX，p. 483) 的特殊情况；当然，所有这些都不用担心收敛问题。

高斯结合他的超几何函数上的研究继续研究 $\Gamma$ 函数，其中 $\Gamma$ 函数是极限情况（II）；正是在这个研究的过程中，他获得了将军乘法公式（勒让德早先已经注意到 $p = 2$ ）。后来对 $\Gamma$ 的工作主要是将这个函数扩展到复数域。直到最近才认识到，对数凸性的性质表征了 $\Gamma(x)$ （在实数域中），直到函数方程 $f(x + 1) = x\, f(x)$ （III）的解中的常数因子； Artin 展示了 (IV) 如何将 $\Gamma(x)$ 上的所有经典结果简单地链接到这个性质。我们非常密切地关注他的阐述。

(I)L。欧拉，Operaomnia，莱比锡-柏林（Teubner）：t。 XIV（1924），t。 XV（1927），t。 XVII (1915) 和 t。 XIX（1932）。 (II) C.F.高斯，韦尔克，t。 III，哥廷根，1866 年。 (III) H. Bohr 和 J. Mollerup，Laerebog i matematisk Analyse，t。 III，哥本哈根，1922 年，p. 149-164。 (IV) E. Artin，Einführung in die Theorie der Gammafunktion，莱比锡 (Teubner)，1931 年。