§ 2. 。复杂域中的 GAMMA 函数

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§ 2。复杂域中的 GAMMA 函数

1. 将 GAMMA 函数扩展到 C

让我们回到 Weierstrass 的公式，它给出了表达式

\frac{1}{\Gamma(x)} = x\, e^{\gamma x} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right) e^{-x/n}

对于 $1/\Gamma(x)$ 对于所有实数 $x$ ，并考虑无限乘积与一般项 $\left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n}$ 对于任意复数 $z$ 。可以写 $e^{-z/n} = 1 - \frac{z}{n} + h(z)$ ，与 $|h(z)| \leq \frac{|z|^2}{2n^2} e^{|z/n|}$ (III, p. 106, 公式 (8)), 从而

\left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n} = 1 + v_n(z)

与 $|v_n(z)| \leq \frac{|z|^2}{n^2} \left(1 + \frac{e^{|z|}}{2}(1 + |z|)\right)$ ；因此，所考虑的无限乘积绝对一致地收敛于 $\mathbf{C}$ 的每个紧致子集；此外，它的值仅在点 $z = -n$ 处是零（\emph{Gen.Top.}，IX，p. 214，推论）。鉴于 VII、p. 315 的公式 (1)，对于每一个复数 $z$ 都有一个放

\frac{1}{\Gamma(z)} = z\, e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n}.

因此，除了点 $-n$ ( $n \in \mathbf{N}$ ) 之外，函数 $\Gamma(z)$ 也被定义为每个点 $z \in \mathbf{C}$ ；在这个集合上是连续的， $(z + n)\Gamma(z) \sim \frac{(-1)^n}{n!}$ 在 $-n$ 的邻域上是连续的。公式 (2) 表明对于每个 $z$ 都有 $\Gamma(\overline{z}) = \overline{\Gamma(z)}$ 与负的整数不同。

允许从高斯的公式（VII，p. 307，公式（8））传递到魏尔斯特拉斯的公式的论证，在反转步骤时，也适用于复数 $z$ ，并且表明，对于 $z \neq -n$ （ $n \in \mathbf{N}$ ），我们有

\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^z n!}{z(z+1)\ldots(z+n)}

同意放置 $n^z = e^{z \log n}$ 。自从

\frac{n^{z+1} n!}{(z+1)(z+2)\ldots(z+n+1)} = z \frac{n}{n+1+z} \frac{n^z n!}{z(z+1)\ldots(z+n)}

又在经过到极限上有基本函数方程

\Gamma(z+1) = z\, \Gamma(z)

对于每个 $z \neq -n$ ( $n \in \mathbf{N}$ )。

设 $p$ 为任意整数 $> 0$ ， $K_p$ 为开盘 $|z| < p$ ；对于每个 $z \in K_p$ 和每个整数 $n > p$ ， $1 + \frac{z}{n}$ 都不是负的实数，因此定义了 $\log \left( 1 + \frac{z}{n} \right)$ ，并且从上面得出，级数与一般项 $\log \left( 1 + \frac{z}{n} \right) - \frac{z}{n}$ ( $n > p$ ) 通常收敛于 $K_p$ ；这同样适用于通过将一般的项微分到有限的数次而获得的级数，因为有

\left| \frac{1}{n} - \frac{1}{z+n} \right| \leq \frac{p}{n(n-p)} \quad \text{and} \quad \left| \frac{1}{(z+n)^k} \right| \leq \frac{1}{(n-p)^k} \qquad (k > 1)

对于 $z \in K_p$ 和 $n > p$ 。然后我们会看到 (cf. II, p. 59, 注 3) $\Gamma(z)$ 除了点 $-n$ 之外，点 $z \in \mathbf{C}$ 都是“无限可微”，并且在这些点处，我们有

\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} = -\gamma - \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{z+n} \right)

(5)

D^{k-1} \left( \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (k-1)!}{(z+n)^k} \qquad \text{for} \quad k \geq 2,

(6)

(5) 和 (6) 的右侧在 $\mathbf{C}$ 的每个紧致子集上“通常收敛”，但包含不存在任何整数 $\leq 0$ 。此外，还可以写出

\log \Gamma(z) \equiv -\gamma z - \log z + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{z}{n} - \log \left( 1 + \frac{z}{n} \right) \right) \qquad (\text{mod. } 2\pi i)

(7)

同意当公式中的对数是实负数的对数时，它在点处具有 $\log z$ 的一个或另一个极限值（相差 $2\pi i$ ）； (7) 右边的级数通常收敛于 $\mathbf{C}$ 的每个紧致子集，而不是包含任何整数 $\leq 0$ 。

2. 补数关系和勒让德高斯乘法公式

直接从VII、p. 315的公式 (2) 推导出来，对于每个 $z \in \mathbf{C}$ ，

\frac{1}{\Gamma(z)\Gamma(-z)} = -z^2 \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right).

现在 $\sin z$ (VI, p. 287, th. 2) 的欧拉展开表明

z \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right) = \frac{1}{\pi} \sin \pi z;

考虑VII、p. 315的函数方程(4)，可以看出：

命题 1 08JB

对于每一个复数 $z$ 都有

\frac{1}{\Gamma(z)\Gamma(1-z)} = \frac{1}{\pi} \sin \pi z

（补数'关系）。

推出 08JC

对于每一个真实的 $t$ 都有

|\Gamma(it)| = \sqrt{\frac{\pi}{t \sinh \pi t}} \quad (t \neq 0)

|\Gamma(\frac{1}{2} + it)| = \sqrt{\frac{\pi}{\cosh \pi t}}.

引用了 2

引用了 § 2. 。复杂域中的 GAMMA 函数, VI § 2. 。三角函数函数和伯努利数的欧拉展开

事实上，从 (8) 可以推导出 $\Gamma(it)\Gamma(-it) = \frac{i\pi}{t \sin \pi it} = \frac{\pi}{t \sinh \pi t}$ ，并且有 $\Gamma(-it) = \overline{\Gamma(it)}$ ；类似地，(8) 给出

\Gamma\left(\frac{1}{2} + it\right)\Gamma\left(\frac{1}{2} - it\right) = \frac{\pi}{\sin (\frac{\pi}{2} + \pi it)} = \frac{\pi}{\cos \pi it} = \frac{\pi}{\cosh \pi t},

一个有

\Gamma\left(\frac{1}{2} - it\right) = \overline{\Gamma\left(\frac{1}{2} + it\right)}.

现在让 $p$ 为任意整数 $> 0$ 并考虑乘积

f(z) = \Gamma\left(\frac{z+1}{p}\right) \Gamma\left(\frac{z+2}{p}\right) \ldots \Gamma\left(\frac{z+p}{p}\right).

根据 (3) (VII, p. 315)，对于每个 $z \neq -n \ (n \in \mathbf{N})$ ， $f(z)$ 是乘积中的极限

\frac{n^{(z+1)/p} n!}{\left(\frac{z+1}{p}\right) \left(\frac{z+1}{p} + 1\right) \ldots \left(\frac{z+1}{p} + n\right)}

\frac{n^{(z+2)/p} n!}{\left(\frac{z+2}{p}\right) \left(\frac{z+2}{p} + 1\right) \ldots \left(\frac{z+2}{p} + n\right)} \cdots

\ldots \frac{n^{(z+p)/p} n!}{\left(\frac{z+p}{p}\right) \left(\frac{z+p}{p} + 1\right) \ldots \left(\frac{z+p}{p} + n\right)}

= \frac{n^{z+(p+1)/2} p^{(n+1)p} (n!)^p}{(z+1)(z+2) \ldots (z+(n+1)p)}

特别是 $f(0)$ 是极限 / 乘积

\frac{n^{(p+1)/2} p^{(n+1)p} (n!)^p}{((n+1)p)!}

由此可知 $f(z)/f(0)$ 是极限

\frac{n^z ((n+1)p)!}{(z+1)(z+2)\ldots(z+(n+1)p)} = z\ p^{-z} \left( \frac{n}{n+1} \right)^z \cdot \frac{((n+1)p)^z ((n+1)p)!}{z(z+1)(z+2)\ldots(z+(n+1)p)}

由 (3) (VII, p. 315) 得出

f(z) = f(0)\ z\ p^{-z}\ \Gamma(z).

但可以写

f(0) = \prod_{k=1}^{p-1} \Gamma \left( \frac{k}{p} \right) = \prod_{k=1}^{p-1} \Gamma \left( 1 - \frac{k}{p} \right) = \sqrt{\prod_{k=1}^{p-1} \Gamma \left( \frac{k}{p} \right) \Gamma \left( 1 - \frac{k}{p} \right)}

自

f(0) > 0

起；补数’ 关系然后给出

f(0) = \sqrt{\pi^{p-1} / \prod_{k=1}^{p-1} \sin \frac{k\pi}{p}}

由于右侧的乘积等于

p/2^{p-1}

（VI，p. 284，cor.1），我们最终看到：

命题 2 08JD

对于每个复数* $z$ 不是整数 $\leqslant 0$ 并且对于每个整数 $p > 0$ 一个有

\Gamma \left( \frac{z}{p} \right) \Gamma \left( \frac{z+1}{p} \right) \ldots \Gamma \left( \frac{z+p-1}{p} \right) = (2\pi)^{(p-1)/2}\ p^{\frac{1}{2}-z}\ \Gamma(z)

（勒让德-高斯乘法公式）。

命题 3 08JE

对于每个真实* $x > 0$ 一个有

\int_1^{x+1} \log \Gamma(t)\ dt = x(\log x - 1) + \frac{1}{2} \log 2\pi

（拉贝积分）。

引用了 2

引用了 VII § 1. 。真实领域中的 GAMMA 函数, II § 1. 。原语和积分

首先我们为 $x = 0$ 建立公式(13)。由于 $\log \Gamma(x) \sim \log \frac{1}{x}$ 随着 $x$ 趋于0，整的 $\int_0^1 \log \Gamma(x)\ dx$ 收敛。此外，函数 $\log \Gamma(x)$ 在 $]0, 1]$ 上减少（VII，p. 310）；对于每 $\alpha > 0$ 一个人因此有

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^q \log \Gamma \left( \frac{k}{n} \right) \leqslant \int_0^\alpha \log \Gamma(x)\ dx,

$q$ 最大的整数使得 $q/n \leqslant \alpha$ 。由于 $\int_0^\alpha \log \Gamma(x) dx$ 与 $\alpha$ 趋于 0，并且 $\frac{1}{n} \sum_{k=q+1}^n \log \Gamma \left( \frac{k}{n} \right)$ 趋于 $\int_\alpha^1 \log \Gamma(x) dx$ ，因为 $n$ 趋于 $+\infty$ （II，p. 57，道具 5），因此有

\int_0^1 \log \Gamma(x) dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \Gamma \left( \frac{k}{n} \right).

但是，根据 (12)，这个公式的右侧是极限

\frac{n-1}{2n} \log 2\pi - \frac{1}{2} \frac{\log n}{n},

从而

\int_0^1 \log \Gamma(x) dx = \frac{1}{2} \log 2\pi.

(14)

接下来我们注从恒等式来看

\log \Gamma(x+1) = \log \Gamma(x) + \log x

在积分时，我们可以推断出 $x > 0$

\int_0^x \log \Gamma(t+1) dt = \int_0^x \log \Gamma(t) dt + \int_0^x \log t dt.

但左边的积分也等于 $\int_1^{x+1} \log \Gamma(t) dt$ 。因此，通过 (14)，

\int_1^{x+1} \log \Gamma(t) dt = \int_0^x \log t dt + \frac{1}{2} \log 2\pi = x (\log x - 1) + \frac{1}{2} \log 2\pi.

3. 斯特林展开

令 $x$ 和 $y$ 为不位于实负半轴上的两个复数；由VII、p. 315的公式(3)，按照VII、p. 316的对数约定， $\log \Gamma(x) - \log \Gamma(y)$ 与表达式的 $2\pi i$ 模极限全等

(x-y) \log n + \sum_{k=0}^n \left( \log(y+k) - \log(x+k) \right).

(15)

让我们把 $f(t) = \log(y+t) - \log(x+t)$ ；我们将欧拉-麦克劳林求和公式 (VI, p. 288) 应用于函数 $f$ ：

f(0) + f(1) + \cdots + f(n) = \int_0^{n+1} f(t) dt - \frac{1}{2} (f(n+1) - f(0))

+ \sum_{k=1}^p \frac{b_{2k}}{(2k)!} \left( f^{(2k-1)}(n+1) - f^{(2k-1)}(0) \right) + T_p(n)

与

|T_p(n)| \leq \frac{4 e^{2\pi}}{(2\pi)^{2p+1}} \int_0^{n+1} |f^{(2p+1)}(u)|\ du.

(16)

自从

f^{(m)}(t) = (-1)^{m-1} (m-1)! \left( \frac{1}{(y+t)^m} - \frac{1}{(x+t)^m} \right),

对于所有

k \geq 1

，

f^{(2k-1)}(n+1)

趋于 0，因为

n

趋于

+\infty

；对于

f(n+1) = \log \left( 1 + \frac{y}{n+1} \right) - \log \left( 1 + \frac{x}{n+1} \right).

此外，还有一个

\int_0^{n+1} \log(x+t)\ dt = (x+n+1)(\log(x+n+1)-1) - x(\log x - 1);

由于

n

趋于

+\infty

，因此渐近展开

(x+n)(\log(x+n)-1) = n \log n - n + x \log n + O \left( \frac{1}{n} \right).

代入式(15)，最终可知，由于

n

趋于

+\infty

，

T_p(n)

有极限

R_p(x,\ y)

，并且可以写成

\log \Gamma(x) - g(x) \equiv \log \Gamma(y) - g(y) + R_p(x,\ y) \quad (\text{mod. } 2\pi i)

推杆上

g(x) = x \log x - x - \frac{1}{2} \log x + \sum_{k=1}^p \frac{b_{2k}}{2k(2k-1)} \frac{1}{x^{2k-1}}.

(17)

我们现在将在（16）的帮助下评估 $R_p(x,\ y)$ 的界限，假设 $x$ 和 $y$ 都在由关系“ $\mathscr{R}(z) \geq A$ 或 $|\mathscr{I}(z)| \geq A$ ”定义的 $\mathbf{C}$ 的子集 $\mathbf{H}_A$ 中，其中 $A$ 是任意数 $> 0$ （图 2）。为此，我们注，如果 $x = s + it$ 和 $s > A$ ，每个 $u > 0$ 都有 $|x+u| \geq A+u$ ，因而

\int_0^{n+1} \frac{du}{|x+u|^{2p+1}} \leq \int_0^\infty \frac{du}{(A+u)^{2p+1}} = \frac{1}{2pA^{2p}}.

类似地，如果

|t| \geq A

对于所有实数

u

都有

|x+u| = |s+u+it| \geq \sqrt{A^2 + (s+u)^2}

，则从而

\int_0^{n+1} \frac{du}{|x+u|^{2p+1}} \leq \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{du}{(A^2 + u^2)^{p+1/2}} = \frac{2}{A^{2p}} \int_0^\infty \frac{dv}{(1+v^2)^{p+1/2}}.

由此可见，当

x

和

y

在

\mathbf{H}_A

时，有

|R_p(x,\ y)| \leq \frac{C_p}{A^{2p}}

![复平面图表显示标记为 t、s 的轴和区域 H_A、A、-A、0]（图 2）

其中 C_p 仅取决于 p。现在令 $\mathfrak{F}$ 为集合H_A为基的滤波器；柯西准则表明，沿着过滤器 $\mathfrak{F}$ ，函数 $\log \Gamma(z) - g(z)$ 具有有限的极限 $\delta$ （模 $2\pi i$ ），并且如果有人放入 $\omega(z) = \max(\mathscr{R}(z), |\mathscr{I}(z)|)$ ，则有

\log \Gamma(z) - g(z) - \delta \equiv O \left( \frac{1}{(\omega(z))^{2p}} \right) \quad (\text{mod. } 2\pi i).

对于 x 实数且 > 0，有 $\Gamma(x) > 0$ ，并且 $g(x)$ 是实数，因此可以假设 $\delta$ 是实数，并且有

\log \Gamma(x) = g(x) + \delta + O \left( \frac{1}{x^{2p}} \right).

现在我们将通过 prop 推导常数 $\delta$ 的值。 VII、p. 318 中的 2 个，申请了 $p = 2$ ，其中一个已拥有，真正的 $x$ 倾向于 $+\infty$

\begin{align*} &\frac{x-1}{2} \log \frac{x}{2} - \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \log \frac{x+1}{2} - \frac{x+1}{2} + 2\delta \\ &\qquad = x \log x - x - \frac{1}{2} \log x + (\frac{1}{2} - x) \log 2 + \frac{1}{2} \log 2\pi + \delta + o(1) \end{align*}

由此可以很容易地推导出 $\delta = \frac{1}{2} \log 2\pi$ 。最终得到如下结果：

命题 4 08JF

沿着过滤器 $\mathfrak{F}$ ，有一个（对于每个整数 $p \geqslant 1$ ）渐近展开

\log \Gamma(z) \equiv z \log z - z - \frac{1}{2} \log z + \frac{1}{2} \log 2\pi + \sum_{k=1}^{p} \frac{b_{2k}}{2k(2k-1)} \frac{1}{z^{2k-1}} + O \left( \frac{1}{(\omega(z))^{2p}} \right) \quad (\text{mod. } 2\pi i)

（斯特林的展开）。

推出 08JG

沿着过滤器 $\mathfrak{F}$ 有一个

引用了 1

引用了 V § 4. 。适用于级数并具有正值项

\Gamma(z) \sim \sqrt{2\pi} \exp(z \log z - z - \frac{1}{2} \log z).

特别是，对于 $x$ 实数趋于 $+\infty$ 公式 (20) 可以写成

\Gamma(x) \sim \sqrt{2\pi} \, x^{x-1/2} e^{-x},

从而，因为整数 $n$ 趋于 $+\infty$ ，

n! \sim \sqrt{2\pi} \, n^{n+1/2} \, e^{-n}

（*cf.* V、p. 244）。

由此可以推导出无数公式。对于例，对于每一个复数 $\alpha$ 和每一个整数 $n$ ，因为 $n$ 趋向于 $+\infty$ ，

\frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)} \sim n^{\alpha} \quad (= e^{\alpha \log n}).

类似地，对于每个复数 $a$ 而不是整数 $\leqslant 0$ ，有一个

a(a+1)(a+2)\ldots(a+n) = \frac{\Gamma(n+a+1)}{\Gamma(a)} \sim \frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(a)} \, n^{n+a+1/2} \, e^n

并且对于每个复数 $a$ 不是整数 $\geqslant 0$

\binom{a}{n} = \frac{(-1)^n}{\Gamma(-a)} \frac{\Gamma(n-a)}{\Gamma(n+1)} \sim \frac{(-1)^n}{\Gamma(-a)} \, n^{-a-1}.

最后，对于每个实数常数 $k > 1$ ，有

\binom{kn}{n} = \frac{\Gamma(kn+1)}{\Gamma(n+1) \Gamma((k-1)n+1)} \sim \sqrt{\frac{k}{2\pi(k-1)n}} \left( \frac{k^k}{(k-1)^{k-1}} \right)^n.

同样的论点导致以下类似的命题：

命题 5 08JH

沿着过滤器 $\mathfrak{F}$ （对于每个整数 $p \geqslant 1$ ），渐近展开

\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} = \log z - \frac{1}{2z} - \sum_{k=1}^{p} \frac{b_{2k}}{2k} \frac{1}{z^{2k}} + O \left( \frac{1}{(\omega(z))^{2p+1}} \right).

引用了 1

引用了 § 2. 。复杂域中的 GAMMA 函数

而不是道具。 VII、p. 318 2 个，其中 1 个使用公式

\int_{x}^{x+1} \frac{\Gamma'(t)}{\Gamma(t)} \, dt = \log \Gamma(x+1) - \log \Gamma(x) = \log x

在阶到确定中为常数。

习题

请参阅习题为 § 2。