首先我们证明，如果存在函数 $g$ 满足条件，那么它在区间 ]0, 1] 上是确定的，因此在区间 ]0, +∞[ 上是确定的。事实上，对于每个整数$n > 1$，连接点$(n, g(n))$到点$(x, g(x))$的线的梯度是$x$的递增函数，因为$g$是凸的（I， p. 27，道具 5)；因而，对于 $0 < x \leq 1$，必须有，

也就是说，通过(3)，

现在，通过 (3)，

此外，可以写 $\log n = \sum_{k=2}^n \log \frac{k}{k-1}$，所以不等式 (4) 可以写成

让我们对每个 $n \geq 2$，

(5)

和

对于 $0 < x \leq 1$ 则有

(6)

由于 $\log \frac{n}{n-1}$ 趋于 0，而 $n$ 趋于 $+\infty$，因此从 (6) 可以推断，如果解 $g$ 存在，那么它在 $]0, 1]$ 上必然等于 $g_n(x)$ 的 极限。

现在，我们可以立即从 (5) 推断出，对于 $x$ 是固定的，而$> 0$ 则有

因为$n$趋于$+\infty$，这证明级数与一般的项$u_n(x)$对于每个$x > 0$收敛。 函数 $u_n(x)$ 均在 $]0, +\infty[$ 上凸，$-\log x$、函数 $g(x) = -\log x + \sum_{n=2}^{\infty} u_n(x)$ 在此区间上凸（I、p. 27、第 2 条和第 4 条）；最后，有 $u_n(1) = 0$、从而 $g(1) = 0$，以及 从而 其余字、$g$满足VII、p. 306的式(3)。

函数 $\Gamma(x)$ 在 $]0, +\infty[$ 上无限可微，并且有

和

(10) 和 (11) 右侧的级数在每个紧区间上绝对一致收敛，而不是包含任何整数 $\leq 0$。

事实上，道具的证明。 VII、p. 306 中的 1 表明

从而高斯’公式，因为$\frac{n}{x+n}$趋于1，而$n$趋于$+\infty$。也可以写一写

所以（在第 1 条的记号中）

级数与一般项$\log \frac{n}{n-1} - \frac{1}{n-1}$绝对收敛，并有和$-\gamma$，其中$\gamma$表示欧拉常数（V，p. 242），从而我们得到Weierstrass’ 公式。

对于$|x| \leq a$，有一次$|1/(x+n)^k| \leq 1/(n-a)^k$一次$n > a$，因此公式(11)右侧的级数绝对一致地收敛于$\mathbf{R}$的每个紧区间，而不是包含任何整数$\leq 0$，对于任何整数$k \geq 2$；同样的论证也适用于 (10) 的右侧，因为 $\left| \frac{1}{n} - \frac{1}{x+n} \right| \leq \frac{a}{n(n-a)}$ 适合 $|x| \leq a$ 和 $n > a$。因为这些级数是通过微分级数得到的

逐项收敛，对于每个 $x > 0$、级数与一般项 $\frac{x}{n} - \log \left( 1 + \frac{x}{n} \right)$ 绝对一致地收敛于 [0, +∞[ 中包含的每个紧区间，并且对于每个 x > 都有 VII、p. 308 的关系 (10) 和 (11) 0（II，p. 52，第 1）。此外，对于每个 x ∈ $\mathbf{R}$，一旦 n 足够大，表达式 $\frac{x}{n} - \log \left( 1 + \frac{x}{n} \right)$ 就被定义，所以 th。 II，p. 52的1，再次证明了（9）右边的无限乘积（VII，p. 307）绝对一致收敛于每个紧区间包含，没有整数$\leq 0$。

对于$x > 0$定义的函数$\Gamma(x)$，可以推广到与整数$\leq 0$不同的点x的整个集合，从而得到VII、p. 307的满足方程（7），对此集合：对于 $-(n+1) < x < -n$ 来说就足够了

通过道具。 VII、p. 307、公式 (8)、(9)、(10) 和 (11) VII、p. 307 和 308 中的 2 个，以及 (11) 中的 $D^k(\log |\Gamma(x)|)$ 替换 $D^k(\log \Gamma(x))$，在此仍然有效集合。 公式 (9) (VII, p. 307) 通过VII, p. 307的(7)可知当x趋于0时$\Gamma(x) \sim 1/x$, 从而, 因为 x 趋于 $-n$ ($n$ 整数 $\geq 0$)。然后，函数$1/\Gamma(x)$可以通过连续性扩展到所有$\mathbf{R}$，并在整数$\leq 0$处将其分配为值0；那么，对于所有$x \in \mathbf{R}$ 和 一个显示如道具中所示。 VII、p. 307的2，证明(13)右边的无限乘积绝对一致收敛于$\mathbf{R}$的每个紧区间。

由于$\Gamma(x) > 0$对于$x > 0$，VII、p. 307的等式(7)表明$\Gamma(x) < 0$对于$-(2n-1) < x < -(2n-2)$和$\Gamma(x) > 0$对于

（$n$整数$\geq 1$）；另外$\Gamma(x)$在点$-2n$有右极限$+\infty$，在点$-(2n+1)$有$-\infty$，在点$-2n$有左极限$-\infty$以及 $+\infty$ 点 $-(2n+1)$（对于所有 $n \in \mathbf{N}$）。 VII、p. 308的公式(11)表明，对于$k = 2$，定义时其右侧始终为$\geq 0$，因而

因而 $\Gamma''(x)$ 与 $\Gamma(x)$ 具有相同的符号；因而$\Gamma$对于$x > 0$和$-(2n+2) < x < -(2n+1)$来说是*凸*，对于$-(2n+1) < x - 2n \ (n \in \mathbf{N})$来说是*凹*；由此推断，在$\Gamma$凸的区间上，$\Gamma'(x)$从$-\infty$增加到$+\infty$，在$\Gamma$凹的区间上，$\Gamma'(x)$从$+\infty$减少到$-\infty$。 从而$\Gamma$的图表（图1）。

如图。 1

关系$D^2 (\log f(x)) \geq 0$可以写成$f(x)f''(x) - (f'(x))^2 \geq 0$。我们简化为表明关系 $a > 0, a' > 0, ac - b^2 \geq 0, a'c' - {b'}^2 \geq 0$ 暗示 $(a + a')(c + c') - (b + b')^2 \geq 0$；现在，当$a > 0$、关系$ac - b^2 \geq 0$等价于$\mathbf{R}^2$上的二次形式$ax^2 + 2bxy + cy^2$为$\geq 0$，显然，如果

在 $\mathbf{R}^2$ 上，然后也在 $\mathbf{R}^2$ 上 $(a + a')x^2 + 2(b + b')xy + (c + c')y^2 \geq 0$。

首先，我们证明对于每个紧凑区间 $K \subset J$ 函数 $g_K(x) = \int_K f(x, t) dt$ 都是对数凸的。事实上，如果 $K = [a, b]$、序列或函数

在$I$（II，p. 57，命题5）上简单地收敛到$g_K(x)$，因此$\log g_n$简单地收敛于$\log g_K$；由 VII、p. 310、$\log g_n$ 的引理 1 在 $I$ 上凸，因此（I、p. 27、命题 4）对于 $\log g_K$ 也是如此。

另一方面，$g$是$g_K$沿$I$（II，p. 64）的紧致子区间有向集合的逐点极限，因此$\log g$是$\log g_K$的逐点极限；最后的函数在$I$上凸，$\log g$也是凸的（I，p. 27，道具4）。

即使不假设函数两次可微（VII、p. 327、练习 5），也可以轻松证明引理 1 和 2 仍然有效。

事实上，$\log t^{x-1} = (x-1) \log t$是$x$的函数，它是凸的并且对于所有$t > 0$可两次微分，因此引理2适用。

（第二欧拉积分）。

现在函数$g(x) = \int_0^\infty e^{-t} t^{x-1} dt$被定义为所有$x > 0$（V，p. 229）； 引理 3 of VII, p. 311，则表明它在 ]$0, +\infty[$ 上*对数凸*。此外，通过部分进行积分，有

其它字、$g$为VII、p. 305等式(1)的解；最后，

因此，命题由道具得出。 1 个VII、p. 306。

通过变量$e^{-t} = u$的变换可以从 (14) (VII, p. 311) 公式推出

类似地，从变量$u = t^{1/x}$的变换我们得到

再次考虑 (7) (VII, p. 3)，

特别是对于$x = 2$

(第一个欧拉积分) 有值

事实上，这个积分对于$x > 0$和$y > 0$（V，p. 229）是收敛的。通过 I、p. 311、函数 $x \mapsto \mathbf{B}(x, y)$ 的引理 3 是 $x > 0$ 的*对数凸*。而且，

因此，通过部分积分，

由此可见$f(x) = \mathbf{B}(x, y) \Gamma(x+y)$满足VII、p. 305的恒等式(1) 而且，这个函数是对数凸的，是两个对数凸函数的乘积。最后，有$f(1) = \mathbf{B}(1, y) \Gamma(y+1)$、$\mathbf{B}(1, y) = \int_0^1 (1-t)^{y-1} dt = 1/y$、从而$f(1) = \frac{1}{y} \Gamma(y+1) = \Gamma(y)$。因此，根据属性，函数$f(x)/\Gamma(y)$等于$\Gamma(x)$。 VII、p. 306 中的 1，证明 (18)。

由变量 $t = \frac{u}{u+1}$ 公式的变换 (18) 变为

(19)

以及变量 $t = \sin^2 \varphi$ 的变换

(20)

如果将 $x = y = \frac{1}{2}$ 放入最后一个公式中，则可以得出：

(21)

从而，由 (17)，

(22)

从VII、p. 307的关系(7)，有渐近展开

(23)

对于 $\Gamma(x)$，在邻域 0 上。

类似地，对于所有$y$固定和$> 0$都可以写

公式 (18) 然后给出，对于固定的 $y$，渐近展开

于$x = 0$的邻域。

此外，对于$x > 0$和$y > 0$，有

函数 $\varphi(t) = \frac{(1-t)^{y-1} - 1}{t}$ 在紧区间$[0, 1]$上连续；自从 与 $|r_n(x, t)| \leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} |\log t|^{n+1}$ （因为 $\log t \leq 0$ 和 $x > 0$），公式 (25) 给出渐近展开 对于 0 的邻域上的 $\mathbf{B}(x, y)$。

对于 $n = 1$ 展开与 (24) 的识别特别给出

此外，公式 (10) 给出$\Gamma'(1) = \Gamma'(1)/\Gamma(1) = -\gamma$，因此（*高斯积分*）