§ 1. 。原语和积分

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

§ 1。原语和积分

与此相反，除非明确提到，在这个章中，我们将仅考虑实变量的向量函数，其将其值置于 $\mathbf{R}$ 上的完全规范的空间中。当我们特别处理实值函数时，我们总是会理解这些函数是有限的除非，相反。

1. 原语的定义

A vector function $f$ defined on an interval $I \subset \mathbf{R}$ cannot be the derivative at every point of this interval of a vector function $g$ (defined and continuous on $I$ ) unless it satisfies quite stringent conditions: for example, if $f$ admits a right limit and a left limit at a point $x_0$ interior to $I$ then $f$ must be continuous at the point $x_0$ , as follows from prop. 6 of I, p. 18; it follows, that if one takes the interval $[ -1 , 1 ]$ for $I$ , and for $f$ the real function equal to $-1$ on $[ -1 , 0[$ , and to $+1$ on $[0 , 1]$ , then $f$ is not the derivative of any continuous function on $I$ ; all the same, the function $|x|$ has $f(x)$ as its derivative at every point $\neq 0$ ; one is thus led to make the following definition:

定义 1 0870

给定在区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上定义的向量函数 $f$ ，我们说在 $I$ 上定义的函数 $g$ 是 $f$ 的原语，如果 $g$ 在 $I$ 上连续并且导数等于 $f(x)$ 在 $I$ 的可数子集的补码（相对于 $I$ ）的每个点 $x$ 。

如果 $g$ 在 $I$ 的每个点 $x$ 处也承认等于 $f(x)$ 的导数，则可以说 $g$ 是 $f$ 的严格原语。

通过这个定义，我们可以看到上面考虑的真实函数 $f$ 承认一个等于 $|x|$ 的原语。

很明显，如果 $f$ 承认 $I$ 上的原语，那么 $f$ 的每个原语也是每个函数的原语，除了 $I$ 的可数子集的点之外，它等于 $f$ 。通过滥用语言，人们谈论函数 $f_0$ 的 $I$ 上的原语仅定义在 $I$ 的可数子集的补集（相对于 $I$ ）：这将是在 $I$ 上定义的每个函数 $f$ 的原语并且等于 $f_0$ 位于点，其中定义了 $f_0$ 。

命题 1 0871

Let $f$ be a vector function defined on $I$ with values in $E$ ; if $f$ admits a primitive $g$ on $I$ then the set of primitives of $f$ on $I$ is identical to the set of functions $g + a$ , where $a$ is a constant function with its values in $E$ .

引用了 1

引用了 I § 2. 。平均值值定理

事实上，很明显，对于任何 $a \in E$ ， $g + a$ 都是 $f$ 的原语；另一方面，如果 $g_1$ 是 $f$ 的原语，则 $g_1 - g$ 允许除 $I$ 的可数子集的点之外的导数等于0，因此是常数（I，p. 17，推论）。

有人说函数 $f$ （当它们存在时）的原语被定义为“直到一个加性常数”。对于 $f$ 的原语定义，明确地将其分配给点 $x_0 \in I$ （任意）值就足够了；特别地，存在且仅有一个 $f$ 的原语 $g$ 使得 $g(x_0) = 0$ ；对于 $f$ 的每个原语 $h$ 都有 $g(x) = h(x) - h(x_0)$ 。

2. 原语的存在

设 $f$ 为函数，定义在任意区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上；为了使在 $I$ 上定义的函数 $g$ 成为 $f$ 的原语， $g$ 到每个紧凑区间 $J \subset I$ 的限制是 $f$ 到 $J$ 的限制的原语是充分必要的。

定理 1 0872

令 $A$ 为集合，由过滤器 $\mathfrak{F}$ 过滤， $(f_\alpha)_{\alpha \in A}$ 为向量函数和值的族向量函数，在 $\mathbf{R}$ 上的完整规范的空间 $E$ 中，定义在区间上 $I \subset \mathbf{R}$ ：对于每个 $\alpha \in A$ ，让 $g_\alpha$ 作为 $f_\alpha$ 的原语。我们假设： 1. 对于滤波器 $\mathfrak{F}$ 函数 $f_\alpha$ 均匀收敛于 $I$ 到函数 $f$ 的每个紧凑子集； 2.存在点 $a \in I$ ，使得对于过滤器 $\mathfrak{F}$ ，族 $(g_\alpha(a))$ 在 $E$ 中具有极限。在这些假设下，函数 $g_\alpha$ （相对于 $\mathfrak{F}$ ）均匀收敛于 $I$ 的每个紧凑子集到 $f$ 的原始 $g$ 。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 I § 2. 。平均值值定理

被以下引用 II § 3. 。函数的导数和积分取决于参数

通过小节开头的注，我们可以将自己限制在 $I$ 是*紧凑*区间的情况。

首先让我们证明 $g_\alpha$ 在 $I$ 上一致收敛到连续的函数 $g$ 。到假设，对于每一个 $\varepsilon > 0$ ，都有集合 $M \in \mathfrak{F}$ ，这样，对于任何两个指标 $\alpha, \beta$ 属于到 $M$ ，每个 $x \in I$ 都有 $\|f_\alpha(x) - f_\beta(x)\| \leq \varepsilon$ ；在推论中，有一个 (I, p. 15, th. 2)

\|g_\alpha(x) - g_\beta(x) - (g_\alpha(a) - g_\beta(a))\| \leq \varepsilon |x - a| \leq \varepsilon l

其中 $l$ 表示 $I$ 的长度；由于假设 $g_\alpha(a)$ 相对于 $\mathfrak{F}$ 接近极限，根据柯西准则可以得出 $g_\alpha$ 一致收敛于 $I$ 。还需要证明 $g_\alpha$ 的极限 $g$ 是 $f$ 的原语。

对于每个整数 $n > 0$ ，令 $\alpha_n$ 为指标，使得 $\|f(x) - f_{\alpha_n}(x)\| \leq 1/n$ 在 $I$ 上；很明显，序列 $(f_{\alpha_n})$ 一致收敛到 $f$ ，序列 $(g_{\alpha_n})$ 一致收敛到 $I$ 上的 $g$ 。令 $H_n$ 为 $I$ 的可数子集，其中 $f_{\alpha_n}$ 不是 $g_{\alpha_n}$ 的导数，并令 $H$ 为 $H_n$ 的并，因此它是I的可数子集；我们将看到，在每个点 $x \in I$ 而不是属于到H函数，g的导数等于 $f(x)$ 。事实上，如上所示，对于每一个 $m \geq n$ 和每一个 $y \in I$ ，都有一个

\| g_{\alpha_m}(y) - g_{\alpha_m}(x) - (g_{\alpha_n}(y) - g_{\alpha_n}(x)) \| \leq \frac{2}{n} |y - x|.

让 $m$ 无限增加也有

\| g(y) - g(x) - (g_{\alpha_n}(y) - g_{\alpha_n}(x)) \| \leq \frac{2}{n} |y - x|

每 $y \in I$ ；现在，存在一个 $h > 0$ ，这样，对于 $|y - x| \leq h$ 和 $y \in I$ ，就有 $\| g_\alpha(y) - g_{\alpha_n}(x) - f_{\alpha_n}(x)(y - x) \| \leq |y - x| / n$ ；另一方面，因为我们有 $\| f(x) - f_{\alpha_n}(x) \| \leq 1 / n$ ，所以我们最终得到

\| g(y) - g(x) - f(x)(y - x) \| \leq \frac{4}{n} |y - x|

对于 $y \in I$ 和 $|y - x| \leq h$ ，可完成证明。

推论 1 0873

从I到映射的集合 $\mathscr{H}$ 进入E，它在区间I上承认一个原语是从映射的完整向量空间 $\mathscr{F}_c(I; E)$ 的封闭（因此完整）向量子空间 I转化为E，在I*的每个紧凑子集上赋予拓扑一致收敛性（*Gen.Top.*，X，p. 277）。

被以下引用 1

被以下引用推论 2

推论 2 0874

令 $x_0$ 为I的点，对于每个函数 $f \in \mathscr{H}$ ，令 $P(f)$ 为 $f$ 的原语，在点 $x_0$ 处消失； $\mathscr{H}$ 到 $\mathscr{F}_c(I; E)$ 的映射 $f \mapsto P(f)$ 是连续的线性映射。

引用了 1

引用了推论 1

科。 1 至 th。 1 允许我们通过以下过程确定函数某些类别的原语的存在：如果知道 $\mathscr{F}_c(I; E)$ 的函数属于到子集 $\mathscr{A}$ 承认一个原语，那么函数属于到 $\mathscr{F}_c(I; E)$ 中的*闭包* 向量子空间由 $\mathscr{A}$ 生成。我们将在接下来的小节中应用这个方法。

3. 受监管函数

定义 2 0875

One says that a map $f$ of an interval $I \subset \mathbf{R}$ into a set E is a step function if there is a partition of I into a finite number of intervals $J_k$ such that $f$ is constant on each of the $J_k$ .

Let $(a_i)_{0 \leq i \leq n}$ be the strictly increasing sequence formed by the distinct endpoints of the $J_k$ ; since the $J_k$ are pairwise disjoint each of them either reduces to a singleton $a_i$ or is an interval with two consecutive points $a_i, a_{i+1}$ as endpoints; moreover, since I is the union of the $J_k$ , the point $a_0$ is the left-hand endpoint, and $a_n$ is the right-hand endpoint of I. 因此，I上的每个步骤函数都可以表征为函数，它在每个开区间] $a_i,\ a_{i+1}[\ (0 \leq i \leq n - 1)$ 上都是恒定的，其中 $(a_i)_{0 \leq i \leq n}$ 是 $I$ 的点的严格递增的序列， $a_0$ 是左端点， $a_n$ $I$ 的右侧端点。

命题 2 0876

在 $I$ 上定义的步骤函数的集合，其中向量空间 $E$ 中的值超过 $\mathbf{R}$ ，是向量空间 $\mathscr{F}(I; E)$ 的向量子空间 $\mathscr{E}$ 将 $I$ 中的映射转化为 $E$ 。

事实上，让 $f$ 和 $g$ 是两步函数，并且 $(A_i)$ 和 $(B_j)$ 将 $I$ 的两个划分放入有限的数间隔中，使得 $f$ （分别为 $g$ ）在每个 $A_i$ （分别为 $B_j$ ）；无论实数 $\lambda, \mu$ ，很明显 $\lambda f + \mu g$ 在每个非空间隔 $A_i \cap B_j$ 上都是恒定的，并且 $I$ 的这些间隔形式划分。

推论 0877

向量子空间 $\mathscr{E}$ 由特征函数个间隔生成。

现在让我们考虑 $E$ 是空间超过 $\mathbf{R}$ 的规范化的情况；那么直接的，具有端点 $a, b$ （ $a < b$ ）的区间 $J$ 的特征函数承认一个原语，即函数对于 $x \leq a$ 等于 $a$ ，对于 $a \leq x \leq b$ 等于 $x$ ，并且 $b$ 换 $x \geq b$ 。科。支撑。因此，图 2 表明* $E$ 中的函数和值的每一步都承认一个原语*。

我们现在可以在 n' 2 中应用方法集合。

定义 3 0878

One says that a vector function, defined on an interval $I$ , with values in a complete normed space $E$ over $\mathbf{R}$ , is a regulated function, if it is the uniform limit of step functions on every compact subset of $I$ .

引用了 1

引用了 § 1. 。原语和积分

其它字中，规定的函数为步骤函数的子空间 $\mathscr{E}$ 中 $\mathscr{F}_c(I; E)$ 闭包的元素； $\overline{\mathscr{E}}$ 是 $\mathscr{F}_c(I; E)$ 的向量子空间，并且由于 $\mathscr{F}_c(I; E)$ 是完整的，所以 $\overline{\mathscr{E}}$ 也是完整的；在其他字中，如果函数是在 $I$ 的每个紧凑型子集上调节函数的统一极限，则在 $I$ 上进行调节。为了在区间 $I$ 上调节 $f$ ，调节 $I$ 中包含的每个紧凑区间的限制是必要且充分的。

科。 I至II、p. 53显示：

定理 2 0879

间隔 $I$ 上的每个受管制函数都承认 $I$ 上的原语。

我们将变换def。 II、p. 4 至另一个中的 3 个等效项：

定理 3 087A

对于定义在区间 $I$ 上的向量函数 $f$ ，值在空间 $E$ 超过 $\mathbf{R}$ 的完整范数中，要进行调节，它有一个右极限和一个左极限是必要和充分的当点属于到 $I$ 时， $I$ 的每个内部点有极限， $I$ 的左端点有右极限， $I$ 的右端点有左极限。因此， $I$ 中 $f$ 不连续性的点的集合是可数的。

由于每个区间都是可数的并个紧凑区间，因此可以将自己限制为证明个。 3 当I紧致时，称I = [a, b]。

1 条件是必要的。假设 f 是受调节的，并且令 x 与 b 不同，为 I 的点。通过假设，对于每个 ε > 0，都有一个步骤函数 g，使得 \|f(z) - g(z)\| \leq \varepsilon 对于每个 z \in I；因为 g 在点 x 处有一个右极限，所以存在一个 y，使得 x < y \leq b 并且对于点 z, z' 的每一个对，在区间 ]x, y] 中都有 \|g(z) - g(z')\| \leq \varepsilon，并且在推论 \|f(z) - f(z')\| 中\leq 3\varepsilon;这证明（根据柯西准则）f 在点 x 处有右极限。以同样的方式证明f在I的每点处都有一个与a不同的左极限。

2°条件就足够了。假设它满足了；对于 I 中的每个 x \，存在一个开区间 V_x = ]c_x, d_x[ 包含于 x，并且在 I 的交上，每个开区间 ]c_x, x[, ]x, d_x[ （当交不为空时）f 的振荡为 \leq \varepsilon。由于 I 是紧致的，因此 I 中存在点 x_i 的有限数，使得 V_{x_i} 形式覆盖 I；令 (a_k)_{0 \leq k \leq n} 为序列，是由点 a、b 和点 x_i、c_{x_i} 和点 x_i、c_{x_i} 构成的有限集合排列在递增阶点中而得d_{x_i} 其中属于到 I；每个区间 ]a_k, a_{k+1}[ (0 \leq k \leq n - 1) 包含在区间 ]c_{x_i}, x_i[ 或 ]x_i, d_{x_i}[ 中，则 f 的振荡为 \leq \varepsilon；设 c_k 为 ]a_k, a_{k+1}[ 上 f 的值之一；将 g(a_k) = f(a_k) 表示为 0 \leq k \leq n，将 g(x) = c_k 表示为所有 x \in ]a_k, a_{k+1}[ (0 \leq k \leq n - 1)，一个定义步长函数 g 使得 \|f(z) - g(z)\| \leq \varepsilon 于 I；所以f受I调节。

最后，让我们证明，如果f在I上调节，那么它的不连续性点的集合是可数的。对于每个 n > 0，都存在一个步骤函数 g_n 使得 \|f(x) - g_n(x)\| \leq 1/n 于 I；由于序列 (g_n) 在 I 上均匀收敛于 f，我们看到 f 在每个点都是连续的，其中 g_n 都是连续的（Gen. Top.、X、p. 281、cor. 1）；但由于 g_n 除了在有限集合 H_n 的点处是连续的，因此 f 在集合 H = \bigcup_{n} H_n 的补集的点处是连续的，这是可数的。

推论 1 087B

令 f 为 I 上的调节函数；在I的每个点处，除了I的右侧端点（或左侧端点）之外，f的每个基元都有等于f(x+)的右导数（或等于f(x-)的左导数）；特别是，在每个点 x 处，其中 f 是连续的，f(x) 是其基元之一的导数。

引用了 2

引用了 I § 2. 。平均值值定理, § 1. 。原语和积分

这是第直接的推论。 3 个 II、p. 54 和 prop。 I、p. 18 中的 6 个。

推论 2 087C

令 f_i (1 \leq i \leq n) 在区间 I 上受到 n 调节函数，每个 f_i 的值位于 \mathbf{R} (1 \leq i \leq n) 上完整规范的空间 E_i 中。如果 g 是子空间 \prod_{i=1}^{n} \overline{f_i(I)} of \prod_{i=1}^{n} E_i 的连续映射到 \mathbf{R} 上的完整范数空间 F，则复合函数 x \mapsto g(f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x)) 在 I 上调节。

引用了 1

引用了 § 1. 。原语和积分

事实上，它显然满足 th 的条件。 II、p. 54 中的 3 个。

因此，我们可以看出，如果 f 是 I 上的调节向量函数，则真实的函数 x \mapsto \|f(x)\|也受到监管。进一步，对I形式环实际调节函数；

此外，如果 $f$ 和 $g$ 是两个实数受调节的函数，则 $\sup(f, g)$ 和 $\inf(f, g)$ 受到调节。

注 1 087D

如果 $f$ 是 $I$ 上的实调节函数，并且 $g$ 是间隔包含 $f(I)$ 上的调节向量函数，则复合函数 $g \circ f$ 不一定是调节的（ $cf.$ II，p. 79，练习 4)。

th 的两个特殊案例。 II、p. 54 中的 3 个尤其重要：

引用了 1

引用了 § 1. 。原语和积分

命题 3 087E

在间隔 $I \subset \mathbf{R}$ 上的每个连续向量函数在空间 $E$ 超过 $\mathbf{R}$ 上取其值是受管制的，并且在 $I$ 上承认一个原语，它是其在每个点处的导数。

注 2 087F

为了证明连续的函数承认一个原语，我们可以使用这样一个事实：实数变量（系数在 $E$ 中）的每个 多项式函数 都承认一个原语；因为从 Weierstrass 的定理 (Gen. Top., X, p. 313, 命题 3) 开始，每个连续函数都是每个紧区间上多项式的一致极限，th。 1 of II, p. 52 表明每个连续的函数都承认一个原语。

引用了 1

引用了 § 1. 。原语和积分

注 3 087G

前面的注扩展的原理没有对*复杂*变量的向量函数进行重大修改，在 $\mathbf{C}$ 上采用完整规范的空间中的值。如果 $U$ 是 $\mathbf{C}$ 中的开集合，同胚于 $\mathbf{C}$ ，则在 $U$ 上定义的此类向量函数 $f$ 的“原语”由定义上的连续函数定义 $U$ ，在 $U$ 的每点处，导数等于 $f$ 。有了这个定义，th。 II、p. 52 扩展的 1 未经修改（利用 $U$ 的连通性证明 $(g_\alpha)$ 关于 $\mathscr{F}$ 一致收敛于 $U$ 的每个点的邻域，由此由此可见， $U$ 的每个紧凑子集上 $(g_\alpha)$ 一致收敛于 $\mathscr{F}$ ；证明使用I、p. 18的道具4完成。因而，每个函数是 $U$ 的每个紧凑子集上的*一致的极限多项式*，在 $U$ 上承认一个原语；这些函数正是函数，称为 $U$ 上的“全纯”，我们将在后面的书中进一步详细研究。

引用了 2

引用了 I § 2. 。平均值值定理, § 1. 。原语和积分

命题 4 087H

区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上的每个单调实数函数 $f$ 都是有规律的， $f$ 的每个基元在 $I$ 上都是凸的。

引用了 3

引用了 I § 4. 。实变量的凸函数, § 1. 。原语和积分, TG IV § 5. 实值函数

事实上， $f$ 满足th的标准。 Gen.3顶部。，IV，p. 350，道具。 4；命题的第二个部分来自 cor。 1，来自II，p. 55，以及来自道具。 5 个I、p. 27。

注 4 087I

人们一定不要认为间隔 $I$ 上的受管制函数是唯一在 $I$ 上具有原语的函数（ $cf.$ II、p. 80、习题 7 和 8）。

引用了 1

引用了 § 1. 。原语和积分

4. 整的

我们已经获得了（II，p. 54，th.2）在间隔 $I$ 上的受管制函数的原语，作为步骤函数原语的统一极限。这个过程可以用稍微不同的方式表达：让 $x_0, x$ 是 $I$ 的任意两个点，使得 $x_0 < x$ ；我们将区间 $[x_0, x]$ 的任何序列称为区间 $[x_i, x_{i+1}]$ 与并 $[x_0, x]$ 的*细分*，其中 $(x_i)_{0 \leq i \leq n}$ 是 $[x_0, x]$ 的点的严格递增的序列，使得 $x_n = x$ 。我们将相对于I上定义的向量函数 $f$ 以及由 $[x_i,\ x_{i+1}]$ 形成的细分（形式的任何表达式）调用*黎曼和*

\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)(x_{i+1} - x_i)

其中

t_i

属于到

[x_i,\ x_{i+1}]

代表

0 \leq i \leq n-1

。则有以下命题：

命题 5 087J

令 $f$ 为区间I上的受规函数，令 $g$ 为I上 $f$ 的原语，以及 $[x_0,\ x]$ 包含在I中的紧致区间。对于每个 $\varepsilon > 0$ 都存在数 $\rho > 0$ ，这样对于 $[x_0,\ x]$ 的每一个细分为长度 $\leq \rho$ 的区间都有*

\left| g(x) - g(x_0) - \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)(x_{i+1} - x_i) \right| \leq \varepsilon

(1) *对于每个黎曼和相对于这个细分。

事实上，让 $f_1$ 成为函数的步长，使得对于每个 $y \in [x_0,\ x]$ 都有 $\|f(y) - f_1(y)\| \leq \varepsilon$ ；一个有，用 $g_1$ 表示I上的 $f_1$ 原语，

\|g(x) - g(x_0) - (g_1(x) - g_1(x_0))\| \leq \varepsilon(x - x_0)

平均而言值定理，另一方面

\left| \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)(x_{i+1} - x_i) - \sum_{i=0}^{n-1} f_1(t_i)(x_{i+1} - x_i) \right| \leq \varepsilon(x - x_0).

因此，当 $f$ 是*步骤函数*时，足以证明命题。令 $(y_k)_{1 \leq k \leq m}$ 为 $[x_0,\ x]$ 中 $f$ 的间断点点的严格递增的有限序列。将 $[x_0,\ x]$ 细分为长度 $\leq \rho$ 点 $y_k$ 属于的区间，至多其中两个区间；因此， $f$ 不恒定的间隔不能超过 $2m$ 个；但是，在这样的区间 $[x_i,\ x_{i+1}]$ 上，有

\|g(x_{i+1}) - g(x_i) - f(t_i)(x_{i+1} - x_i)\| \leq 2M (x_{i+1} - x_i)

用

M

表示

[x_0,\ x]

上

\|f\|

的最小上界；另一方面，当

f

恒定于

[x_i,\ x_{i+1}]

时，有

g(x_{i+1}) - g(x_i) - f(t_i)(x_{i+1} - x_i) = 0.

由此可见差异

\left| g(x) - g(x_0) - \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)(x_{i+1} - x_i) \right|

不能超过

4Mm\rho

；因此，只需

\rho \leq \varepsilon / 4Mm

即可获得(1)。

注 1 087K

当 $f$ 是*连续*属性时。式5可以更简单地证明：由于 $f$ 在 $[x_0,\ x]$ 上一致连续，因此存在 $\rho > 0$ ，使得在 $[x_0,\ x]$ 包含的长度 $\leq \rho$ 的每个区间上， $f$ 的振荡为 $\leq \frac{\varepsilon}{x - x_0}$ ；对于 $[x_0,\ x]$ 的每个细分为长度 $\leq \rho$ 的间隔 $[x_i,\ x_{i+1}]$ 以及 $[x_i,\ x_{i+1}]$ 中 $t_i$ 的每个选择，对于 $0 \leq i \leq n-1$ ，步骤函数 $f_1$ 等于 $f(t_i)$ 在 $[x_i,\ x_{i+1}]$ ( $0 \leq i \leq n-1$ ) 上，并在点 x 处到达 $f(x)$ ，使得 $\| f(y) - f_1(y) \| \leq \frac{\varepsilon}{x - x_0}$ 在 $[x_0, x]$ 上；如果 $g_1$ 是 $f_1$ 的原语，则有

g_1(x) - g_1(x_0) = \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)(x_{i+1} - x_i),

因此关系 (1) 紧随平均值值定理而来。

在本章的其余部分中，我们将仅限于研究间隔I上*调节的*函数的原语。对于这样的函数 $f$ ，对于E中的值， $f$ 的原语 $g$ ，对于I的任意两个点 $x_0, x$ ，E的元素 $g(x) - g(x_0)$ （显然是相同的，没有不管 $f$ 的哪个原语 $g$ 被认为是函数* $f$ 从 $x_0$ 到 $x$ （或*在紧凑区间* $[x_0, x]$ ）的积分，并由 $\int_{x_0}^x f(t) dt$ 表示 $\int_{x_0}^x f$ 。这个名字和记号都起源于prop。 II、p. 57的5，表明积分可以用黎曼和任意逼近；更具体地说，我们可以将 $[x_0, x]$ 细分为相等的间隔，

\frac{1}{x - x_0} \int_{x_0}^x f(t) dt = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \left( x_0 + k \frac{x - x_0}{n} \right).

在其他字中，元素 $\frac{1}{x - x_0} \int_{x_0}^x f(t) dt$ 是 $f$ 的值的*算术平均值*的极限，在将 $[x_0, x]$ 细分为等间隔的区间的左端点处；人们也称其为 $[x_0, x]$ 区间上函数 $f$ 的*均值*（或 均值值）。

到定义，函数 $x \mapsto \int_{x_0}^x f(t) dt$ 正是 $f$ 的原语，在点 $x_0 \in I$ 消失；也可以用 $\int_{x_0}^x f(t) dt$ 或 $\int_{x_0}^x f$ 来表示。

引用了 1

引用了 § 1. 。原语和积分

注 2 087L

对于I上定义的任意函数 $h$ ，值在E中，元素 $h(x) - h(x_0)$ 也写为 $h(t)\Big|_{x_0}^x$ ；通过这个记号，我们可以看出，如果 $g$ 是I上受监管的函数 $f$ 的任何原语，则有

\int_{x_0}^x f(t) dt = g(t)\Big|_{x_0}^x.

注 3 087M

表达式 $\int_{x_0}^x f(t) dt$ 和 $g(t)\Big|_{x_0}^x$ 是表示组合的缩写符号，其中出现字母 $x, x_0, f, g$ ，但*不是*字母 $t$ （*cf.集合理论*、I、p. 15）；有人说，在这些符号中， $t$ 是一个“虚拟变量”：因此，可以通过任何其他不同于 $x, x_0, f$ 和 $g$ 的变量（以及可能进入这些符号出现的证明的变量）来计算替换 $t$ ，而不改变如此获得的符号的含义（读者可以将这些符号与诸如此类的符号进行比较） $\sum_{i=1}^n x_i$ ，或 $\bigcup X_i$ ，其中 $i$ 同样是虚拟变量）。

引用了 1

引用了 E I § 1. 项与关系

注 4 087N

黎曼积分的近似和与积分概念的历史起源之一、面积“度量”的问题密切相关。我们将在《整的》一书中回到这个点，这本书专门讨论了这个问题所引向的积分概念的推广；其中推广函数“集成”不一定定义在 $\mathbf{R}$ 的子集上；此外，即使当处理（不一定受管制）实数变量的实数函数 $f$ 时，可以定义积分 $\int_{x_0}^x f(t)\,dt$ ，函数 $x \mapsto \int_{x_0}^x f(t)\,dt$ 并不总是 $f$ 的原语，并且存在函数，其具有原语但不是我们提到的意义上的“可积”。

5. 积分的性质

受管制的函数积分的性质只是将第1章中演示的导数性质转换为适当的记号。 I。

首先，公式（3）表明，无论I的点 $x,\ y,\ z$ ，都有

\int_x^x f(t)\,dt = 0 \tag{4}

\int_x^y f(t)\,dt + \int_y^x f(t)\,dt = 0 \tag{5}

\int_x^y f(t)\,dt + \int_y^z f(t)\,dt + \int_z^x f(t)\,dt = 0 \tag{6}

来自道具。 II 中有 1 个，p. 52 一个有

\int_{x_0}^x (f + g) = \int_{x_0}^x f + \int_{x_0}^x g \tag{7}

对于每个标量 $k$

\int_{x_0}^x k f = k \int_{x_0}^x f. \tag{8}

设E、F是 $\mathbf{R}$ 上的两个完全赋范空间，u是从E到F的连续线性映射。如果f是I上的受规函数且值在E中，则 $u \circ f$ 是在函数上的受规函数 F 中的 I 和值（II、p. 6，对应 2），其中一个对应 $a, b \in I$ （I、p. 13，第 2 条）

\int_a^b u(f(t))\,dt = u \left( \int_a^b f(t)\,dt \right). \tag{9}

现在让 E、F、G 为 $\mathbf{R}$ 上的三个完整范数空间，以及 $(x, y) \mapsto |x.y|$ $E \times F$ 的连续双线性映射到 G 中。令 f 和 g 为在 I 上定义且连续的两个向量函数，取它们E 和 F 中分别为值；此外，假设 f 和 g 是*受管制* 函数的两个原语，我们通过滥用语言将其表示为 $f'$ 和 $g'$ （除了可数集合的补集之外，这些函数实际上并不能保证分别等于 f 和 g 的导数）。通过道具。 I、p. 6、函数 $h(x) = [f(x).g(x)]$ 中的 3 个，在I的可数子集的补集的每点处，有一个等于 $[f(x).g'(x)] + [f'(x).g(x)]$ 的导数。现在，通过 $[x.y]$ 和 cor 的连续性。 II、p. 55、函数、 $[f.g']$ 和 $[f'.g]$ 中的每一个是I上受监管的函数；所以一个人有公式

\int_a^b [f'(t).g(t)]\,dt = [f(t).g(t)]\Big|_a^b - \int_a^b |f(t).g'(t)|\,dt \tag{10}

称为*公式用于部分*的积分，它允许人们评估许多原语。

对于例，公式通过部分积分，得到以下公式

\int_{x_0}^{x} t f'(t) \, dt = t f(t) \Big|_{x_0}^{x} - \int_{x_0}^{x} f(t) \, dt

因此，减少了两个函数 $f(x)$ 和 $x f'(x)$ 之一的原语对另一个的求值。

同样，如果 $f$ 和 $g$ 在区间 $I$ 上可微分 $n$ 倍，并且如果 $f^{(n)}$ 和 $g^{(n)}$ 在 $I$ 上调节函数，则I的公式 (5)， p. 21 等价于：

\int_a^b [f^{(n)}(t) \cdot g(t)] \, dt

= \left( \sum_{p=0}^{n-1} (-1)^p [f^{(n-p-1)}(t) \cdot g^{(p)}(t)] \right) \Bigg|_a^b + (-1)^n \int_a^b [f(t) \cdot g^{(n)}(t)] \, dt

(11)

称*公式为部分对阶n*的积分。

现在让我们翻译公式以求复合函数的微分（I，p. 9，道具5）。设 $f$ 是在 $I$ 上定义且连续的实函数，它是 $I$ 上的*调节*函数的原语（我们再次滥用语言将其写为 $f'$ ）；此外，让 $g$ 成为开区间 $J$ 包含 $f(I)$ 上的*连续* 向量函数（其中值处于完全规范的空间中）；如果 $h$ 表示 $J$ 上 $g$ 的任意原语，则 $h$ 允许在 $J$ 的每个点处等于 $g$ 的导数（II，p. 56，道具3）；因此，复合函数 $h \circ f$ 允许在 $I$ 的可数子集的补集（相对于 $I$ ）的所有点处等于 $g(f(x)) f'(x)$ 的导数（I，p. 9，道具5）；由于函数 $g(f(x)) f'(x)$ 受到监管（II、p. 55，cor. 2），因此可以写公式

\int_a^b g(f(t)) f'(t) \, dt = \int_{f(a)}^{f(b)} g(u) \, du

(12)

将变量*的变换称为*公式，这也有利于原语的求值。

如果对于例，有人取 $f(x) = x^2$ ，则可以看到公式 (12) 约化从一个到另一个对函数 $g(x)$ 和 $x g(x^2)$ 的基元求值。

为了将值定理 (I, p. 14, th. 1) 转换为实数调节函数的原语，我们首先注紧凑区间 $I$ 上的实数调节函数 $f$ 是有界的 $I$ ；设 $J$ 为 $I$ 点集合，其中 $f$ 是*连续*，并放入 $m = \inf_{x \in J} f(x)$ 、 $M = \sup_{x \in J} f(x)$ ；知道 (II, p. 54, th. 3) $I \cap \mathbf{C}J$ 是可数的；此外，如果 $B$ 相对于 $I$ 是 $I$ 和 $m' = \inf_{x \in B} f(x)$ 、 $M' = \sup_{x \in B} f(x)$ 的任何可数子集的补集，则有 $m' \leq m \leq M \leq M'$ ：事实上，对于每个点 $x \in J$ ，有B 的点 $y$ 任意接近 $x$ 、从而 $m' \leq f(y) \leq M'$ ；因为 $f$ 在点 $x$ 连续，所以 $y$ 接近 $x$ （ $y$ 留在B中） $m' \leq f(x) \leq M'$ ，这证明了我们的断言。既然如此，翻译平均值值定理会得到以下命题：

命题 6（定理的平均值） 087O

设 $f$ 为紧区间 $l = [a, b]$ 上的实数调节函数；如果 $J$ 是I的点的集合，其中 $f$ 是连续的，并且 $m = \inf_{x \in J} f(x)$ ， $M = \sup_{x \in J} f(x)$ ，那么

m < \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)\,dt < M

(13)

除非 $f$ 在 J 上是常数，在这种情况下，(13) 的三个成员相等。

在其他字中，I中规定的函数 $f$ 的*平均值*位于 $f$ 与I的子集之间，其中 $f$ 是连续的。

推论 1 087P

如果I上的实调节函数 $f$ 使得 $f(x) \geq 0$ 在点处，其中 $f$ 是连续的，则* $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)\,dt > 0$ *除非* $f(x) = 0$ *在点处，其中* $f$ *是连续的。

推论 2 087Q

令 $f$ 和 $g$ 为I上的两个实数调节函数，使得 $g(x) \geq 0$ *在点，其中* $g$ *是连续的；如果* $m$ 和 $M$ 是下确界并且 $f$ 的至少上界超过点的集合，其中 $f$ *是连续的，那么

引用了 1

引用了 I § 2. 。平均值值定理

\frac{m}{b-a} \int_a^b g(t)\,dt \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)g(t)\,dt \leq \frac{M}{b-a} \int_a^b g(t)\,dt.

(14)

前两个项（或最后两个）在每个点处不相等除非 $g(x)(f(x) - m) = 0$ （或 $g(x)(f(x) - M) = 0$ ），其中 $f$ 和 $g$ 是连续的。

对于向量函数，平均值定理 (I, p. 15, th. 2) 产生以下命题：

命题 7 087R

设* $\mathbf{f}$ 为紧凑区间 $I = [a, b]$ 上的受监管向量函数，*与值在完整规范的空间* $E$ ，*并让* $g$ 成为真正受监管的函数 $I$ ，*使得* $g(x) \geq 0$ *在点，其中* $g$ *是连续的；在这些情况下

\left\| \int_a^b \mathbf{f}(t)g(t)\,dt \right\| \leq \int_a^b \| \mathbf{f}(t) \| g(t)\,dt.

(15)

尤其，

\left\| \int_a^b \mathbf{f}(t)\,dt \right\| \leq \int_a^b \| \mathbf{f}(t) \| \,dt.

(16)

6. 泰勒公式余数的积分公式；高级阶的原语

公式通过阶 $n$ 的部分进行积分 (II, p. 60, 公式 (11)) 允许用积分的项表达泰勒展开中的余数 $r_n(x)$ 函数的阶 $n$ ，它允许区间I（I，p. 22）上的受管制 $(n+1)^{th}$ 导数；事实上，在替换上，在 (12) 中， $f$ $f'$ ， $b$ $x$ ， $g(t)$ 函数 $(t-x)^n/n!$ ，可以得出以下结论：

f(x) = f(a) + f'(a) \frac{(x-a)}{1!} + f''(a) \frac{(x-a)^2}{2!} + \cdots \\ + f^{(n)}(a) \frac{(x-a)^n}{n!} + \int_a^x f^{(n+1)}(t) \frac{(x-t)^n}{n!} \, dt

其他字

r_n(x) = \int_a^x f^{(n+1)}(t) \frac{(x-t)^n}{n!} \, dt,

其中公式通常允许人们获得余数的简单界限。

给定间隔 I 上的受管制函数 $f$ ， $f$ 的任意基元 $g$ ，在 I 中连续，依次接纳一个基元； $f$ 的任意基元的任意基元被称为 $f$ 的*第二基元*。更一般地， $f$ 的阶 $n-1$ 的基元的基元被称为阶* $n$ 的 $f$ 的基元。人们立即看到，通过 $n$ 上的归纳， $f$ 的阶 $n$ 的两个基元之差是*次数的多项式，最多等于* $n-1$ （系数在E中）。如果指定其值及其在点 $a \in I$ 处的第一个 $n-1$ 导数，则 $f$ 的阶 $n$ 的原语完全确定。

特别是， $\int_a^{(n)} f$ 表示 $f$ 的阶 $n$ 的原语及其第一个 $n-1$ 导数在点 $a$ 处消失。应用于此原语的阶 $n-1$ 的泰勒公式表明，如果 $g = \int_a^{(n)} f$ ，则

g(x) = \int_a^x f(t) \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} \, dt

因此将阶 $n$ 的原语的确定简化为一个积分。

习题

参见习题为 § 1。