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§ 3。 函数的导数和积分取决于参数
1. 极限函数在紧区间上的积分
Th。 II、p. 52 中的 1，应用于紧凑区间上调节的函数的特殊情况，可按如下方式转换为适合积分的记号：
Let A be a set filtered by a filter F \mathfrak{F} F ( f α ) α ∈ A (f_\alpha)_{\alpha \in A} ( f α ) α ∈ A I = [ a , b ] I = [a, b] I = [ a , b ] f α f_\alpha f α F \mathfrak{F} F
lim F ∫ a b f α ( t ) d t = ∫ a b f ( t ) d t .
\lim_{\mathfrak{F}} \int_a^b f_\alpha(t) \, dt = \int_a^b f(t) \, dt.
F lim ∫ a b f α ( t ) d t = ∫ a b f ( t ) d t .
令 ( f n ) (f_n) ( f n ) I = [ a , b ] I = [a, b] I = [ a , b ] ( f n ) (f_n) ( f n )
lim n → ∞ ∫ a b f n ( t ) d t = ∫ a b f ( t ) d t .
\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(t) \, dt = \int_a^b f(t) \, dt.
n → ∞ lim ∫ a b f n ( t ) d t = ∫ a b f ( t ) d t .
特别地，如果级数其广义项u n u_n u n ∫ a b u n ( t ) d t \int_a^b u_n(t) \, dt ∫ a b u n ( t ) d t ∫ a b f ( t ) d t \int_a^b f(t) \, dt ∫ a b f ( t ) d t
令A A A F F F f f f I × A I \times A I × A E E E R \mathbf{R} R α ∈ A \alpha \in A α ∈ A x ↦ f ( x , α ) x \mapsto f(x, \alpha) x ↦ f ( x , α ) I I I x ↦ f ( x , α ) x \mapsto f(x, \alpha) x ↦ f ( x , α ) I I I x ↦ g ( x ) x \mapsto g(x) x ↦ g ( x ) α \alpha α α 0 ∈ A ‾ \alpha_0 \in \overline{A} α 0 ∈ A A A A
lim α → α 0 , α ∈ A ∫ a b f ( x , α ) d x = ∫ a b g ( x ) d x .
\lim_{\alpha \to \alpha_0,\ \alpha \in A} \int_a^b f(x, \alpha)\, dx = \int_a^b g(x)\, dx.
α → α 0 , α ∈ A lim ∫ a b f ( x , α ) d x = ∫ a b g ( x ) d x .
命题 2（“积分相对于参数的连续性”） 0891
令F F F I = [ a , b ] I = [a,\ b] I = [ a , b ] R \mathbf{R} R f f f I × F I \times F I × F E E E R \mathbf{R} R h ( α ) = ∫ a b f ( x , α ) d x h(\alpha) = \int_a^b f(x, \alpha)\, dx h ( α ) = ∫ a b f ( x , α ) d x F F F
引用了 1 引用了 III § 1. 。指数和循环的导数函数
事实上，由于f f f I × F I \times F I × F α \alpha α α 0 ∈ F \alpha_0 \in F α 0 ∈ F f ( x , α ) f(x, \alpha) f ( x , α ) I I I f ( x , α 0 ) f(x, \alpha_0) f ( x , α 0 )
这是命题的一个应用：函数( x , α ) ↦ x α (x, \alpha) \mapsto x^\alpha ( x , α ) ↦ x α I × J I \times J I × J I = [ a , b ] I = [a,\ b] I = [ a , b ] 0 < a < b 0 < a < b 0 < a < b J J J R \mathbf{R} R ∫ a b x α d x \int_a^b x^\alpha\, dx ∫ a b x α d x R \mathbf{R} R α \alpha α α \alpha α ≠ − 1 \neq -1 = − 1 b α + 1 − a α + 1 α + 1 \frac{b^{\alpha+1} - a^{\alpha+1}}{\alpha + 1} α + 1 b α + 1 − a α + 1 α ↦ b α + 1 − a α + 1 α + 1 \alpha \mapsto \frac{b^{\alpha+1} - a^{\alpha+1}}{\alpha + 1} α ↦ α + 1 b α + 1 − a α + 1 R \mathbf{R} R − 1 -1 − 1 α ≠ − 1 \alpha \neq -1 α = − 1 ∫ a b x α d x = b α + 1 − a α + 1 α + 1 \int_a^b x^\alpha\, dx = \frac{b^{\alpha+1} - a^{\alpha+1}}{\alpha + 1} ∫ a b x α d x = α + 1 b α + 1 − a α + 1 α \alpha α x α x^\alpha x α α x α − 1 \alpha x^{\alpha-1} α x α − 1
2. 极限函数在非紧区间上的积分
Th。 II、p. 52 中的第 1 个适用于函数，比规定的函数更通用，因为仅假设函数接受原语。特别是人们会看到那个道具。当仅假设在间隔 I ⊂ R I \subset \mathbf{R} I ⊂ R f α f_\alpha f α I I I I I I f α f_\alpha f α I I I f f f 可能会失败 ：可能会发生这两个项中的一个或另一个不存在，或者两者都存在但具有不同的值。
对于例，如果f n f_n f n ] 0 , 1 [ ]0,\ 1[ ] 0 , 1 [ 0 < x < 1 / n 0 < x < 1/n 0 < x < 1/ n f n ( x ) = n f_n(x) = n f n ( x ) = n 1 / n ≤ x ≤ 1 1/n \leq x \leq 1 1/ n ≤ x ≤ 1 f n ( x ) = 0 f_n(x) = 0 f n ( x ) = 0 ( f n ) (f_n) ( f n ) n n n ∫ 0 1 f n ( t ) d t = 1 \int_0^1 f_n(t) \, dt = 1 ∫ 0 1 f n ( t ) d t = 1 ∫ 0 1 f n ( t ) d t \int_0^1 f_n(t) \, dt ∫ 0 1 f n ( t ) d t ( f n ) (f_n) ( f n ) ( ( − 1 ) n f n ) ((-1)^n f_n) (( − 1 ) n f n )
另一方面，在*无界*区间I = [ 0 , + ∞ [ I = [0, +\infty[ I = [ 0 , + ∞ [ f n f_n f n n 2 ≤ x ≤ ( n + 1 ) 2 n^2 \leq x \leq (n+1)^2 n 2 ≤ x ≤ ( n + 1 ) 2 f n ( x ) = 1 / n f_n(x) = 1/n f n ( x ) = 1/ n I I I n ≥ 1 n \geq 1 n ≥ 1 x x x f n ( x ) = 0 f_n(x) = 0 f n ( x ) = 0 ( f n ) (f_n) ( f n ) I I I n n n ∫ 0 + ∞ f n ( t ) d t = ( 2 n + 1 ) / n \int_0^{+\infty} f_n(t) \, dt = (2n+1)/n ∫ 0 + ∞ f n ( t ) d t = ( 2 n + 1 ) / n
在其他字中，当I I I f \mathbf{f} f I I I I \mathscr{I} I E E E I I I I \mathscr{I} I I I I f ↦ ∫ I f ( t ) d t \mathbf{f} \mapsto \int_I \mathbf{f}(t) \, dt f ↦ ∫ I f ( t ) d t 不连续 (cf. II, p. 53, cor. 2)
我们将寻求*足够*条件来确保道具的有效性。 1、在以下假设下：
1. I I I R \mathbf{R} R f α \mathbf{f}_\alpha f α I I I I I I I I I ( f α ) (\mathbf{f}_\alpha) ( f α ) F \mathfrak{F} F f \mathbf{f} f
将I I I K ( I ) \mathfrak{K}(I) K ( I ) lim δ ( lim J ∈ K ( I ) ∫ J f α ( t ) d t ) \lim_{\delta} \left( \lim_{J \in \mathfrak{K}(I)} \int_J \mathbf{f}_\alpha(t) \, dt \right) lim δ ( lim J ∈ K ( I ) ∫ J f α ( t ) d t ) ( f α ) (\mathbf{f}_\alpha) ( f α ) J ⊂ I J \subset I J ⊂ I lim J ∈ K ( I ) ( lim δ ∫ J f α ( t ) d t ) \lim_{J \in \mathfrak{K}(I)} \left( \lim_{\delta} \int_J \mathbf{f}_\alpha(t) \, dt \right) lim J ∈ K ( I ) ( lim δ ∫ J f α ( t ) d t ) F \mathfrak{F} F K ( I ) \mathfrak{K}(I) K ( I ) Φ \Phi Φ ( J , α ) ↦ ∫ J f α ( t ) d t (J, \alpha) \mapsto \int_J \mathbf{f}_\alpha(t) \, dt ( J , α ) ↦ ∫ J f α ( t ) d t ( J , α ) ↦ ∫ J f α ( t ) d t (J, \alpha) \mapsto \int_J \mathbf{f}_\alpha(t) \, dt ( J , α ) ↦ ∫ J f α ( t ) d t Φ × F \Phi \times \mathfrak{F} Φ × F
首先，由于E E E ( J , α ) ↦ ∫ J f α ( t ) d t (J, \alpha) \mapsto \int_J \mathbf{f}_\alpha(t) \, dt ( J , α ) ↦ ∫ J f α ( t ) d t Φ × F \Phi \times \mathfrak{F} Φ × F ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 J 0 ⊂ I J_0 \subset I J 0 ⊂ I M ∈ F M \in \mathfrak{F} M ∈ F M M M α , β \alpha, \beta α , β I I I J ⊃ J 0 J \supset J_0 J ⊃ J 0
∣ ∫ J 0 f α ( t ) d t − ∫ J f β ( t ) d t ∣ ≤ ε .
\left| \int_{J_0} \mathbf{f}_\alpha(t) \, dt - \int_J \mathbf{f}_\beta(t) \, dt \right| \leq \varepsilon.
∫ J 0 f α ( t ) d t − ∫ J f β ( t ) d t ≤ ε . 另一方面，我们将证明这个条件本身等价于以下条件：对于每个ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 J 0 ⊂ I J_0 \subset I J 0 ⊂ I M ∈ F M \in \mathfrak{F} M ∈ F M M M α \alpha α I I I J ⊃ J 0 J \supset J_0 J ⊃ J 0
∣ ∫ J 0 f α ( t ) d t − ∫ J f α ( t ) d t ∣ ≤ ε .
\left| \int_{J_0} \mathbf{f}_\alpha(t) \, dt - \int_J \mathbf{f}_\alpha(t) \, dt \right| \leq \varepsilon.
∫ J 0 f α ( t ) d t − ∫ J f α ( t ) d t ≤ ε . 确实很明显，最后这个条件是必要的；相反，如果满足，则存在（通过( f α ) (\mathbf{f}_\alpha ) ( f α ) N ∈ F N \in \mathfrak{F} N ∈ F N N N α , β \alpha,\ \beta α , β
∣ ∫ J 0 f α ( t ) d t − ∫ J 0 f β ( t ) d t ∣ ≤ ε ;
\left| \int_{J_0} \mathbf{f}_\alpha(t)\,dt - \int_{J_0} \mathbf{f}_\beta(t)\,dt \right| \leq \varepsilon;
∫ J 0 f α ( t ) d t − ∫ J 0 f β ( t ) d t ≤ ε ; 因此对于 M ∩ N ∈ F M \cap N \in \mathfrak{F} M ∩ N ∈ F α \alpha α β \beta β J ⊃ J 0 J \supset J_0 J ⊃ J 0 ∣ ∫ J 0 f α ( t ) d t − ∫ J f β ( t ) d t ∣ ≤ 2 ε \left| \int_{J_0} \mathbf{f}_\alpha(t)\,dt - \int_J \mathbf{f}_\beta(t)\,dt \right| \leq 2\varepsilon ∫ J 0 f α ( t ) d t − ∫ J f β ( t ) d t ≤ 2 ε
最后，II、p. 65的引理允许我们将最后一个条件放入以下等价的形式中：*对于每个ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 J 0 ⊂ I J_0 \subset I J 0 ⊂ I M ∈ F M \in \mathfrak{F} M ∈ F ε \varepsilon ε K ⊂ I K \subset I K ⊂ I J 0 J_0 J 0 α ∈ M \alpha \in M α ∈ M ∣ ∫ K f α ( t ) d t ∣ ≤ ε \left| \int_K \mathbf{f}_\alpha(t)\,dt \right| \leq \varepsilon ∫ K f α ( t ) d t ≤ ε
最常见的是，人们使用更严格的条件，通过假设在最后一个叙述、集合M M M ε \varepsilon ε
有人说积分∫ I f α ( t ) d t \int_I \mathbf{f}_\alpha(t)\,dt ∫ I f α ( t ) d t α ∈ A \alpha \in A α ∈ A A A A ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 J 0 ⊂ J J_0 \subset J J 0 ⊂ J J 0 J_0 J 0 K ⊂ I K \subset I K ⊂ I α ∈ A \alpha \in A α ∈ A
∣ ∫ K f α ( t ) d t ∣ ≤ ε .
\left| \int_K \mathbf{f}_\alpha(t)\,dt \right| \leq \varepsilon.
∫ K f α ( t ) d t ≤ ε . 这个定义相当于说，映射α ↦ ∫ I f α ( t ) d t \alpha \mapsto \int_I \mathbf{f}_\alpha(t)\,dt α ↦ ∫ I f α ( t ) d t A A A α ↦ ∫ I f α ( t ) d t \alpha \mapsto \int_I \mathbf{f}_\alpha(t)\,dt α ↦ ∫ I f α ( t ) d t Φ \Phi Φ K ( I ) \mathscr{K}(I) K ( I ) ∫ I f α ( t ) d t \int_I \mathbf{f}_\alpha(t)\,dt ∫ I f α ( t ) d t 更不必说 收敛（逆命题为假）。此外，根据我们刚刚看到的内容（或来自*Gen.Top.*，X，p. 281，cor.2）：
设* ( f α ) (\mathbf{f}_\alpha ) ( f α ) 是一个在间隔 I I I 上受调节的函数族，使得： 1 相对于滤波器F \mathfrak{F} F 族 ( f α ) (\mathbf{f}_\alpha ) ( f α ) 均匀收敛到函数 f f f （调节于 I I I 在 I I I 2 整的∫ I f α ( t ) d t \int_I \mathbf{f}_\alpha(t)\,dt ∫ I f α ( t ) d t α ∈ A \alpha \in A α ∈ A 在这些假设下，整的 ∫ I f ( t ) d t \int_I f(t)\,dt ∫ I f ( t ) d t
lim F ∫ I f α ( t ) d t = ∫ I f ( t ) d t .
\lim_{\mathfrak{F}} \int_I \mathbf{f}_\alpha(t)\,dt = \int_I f(t)\,dt.
F lim ∫ I f α ( t ) d t = ∫ I f ( t ) d t . 道具的假设。当例I I I f α \mathbf{f}_\alpha f α I I I I I I f f f ∥ f α ( x ) ∥ ≤ h \| \mathbf{f}_\alpha(x) \| \leq h ∥ f α ( x ) ∥ ≤ h x ∈ I x \in I x ∈ I α \alpha α J 0 J_0 J 0 I I I J 0 J_0 J 0 ≤ ε / h \leq \varepsilon / h ≤ ε / h K ⊂ I K \subset I K ⊂ I J 0 J_0 J 0
与道具一样。 II、p. 68 中的 1 个，支持两个推论。 3 在应用中很重要：
设* ( f n ) (f_n) ( f n ) 是在任意区间 I I I I I I f f f 如果积分 ∫ I f n ( t ) d t \int_I f_n(t)\,dt ∫ I f n ( t ) d t 一致收敛，则积分 ∫ I f ( t ) d t \int_I f(t)\,dt ∫ I f ( t ) d t 收敛，并且
lim n → ∞ ∫ I f n ( t ) d t = ∫ I f ( t ) d t .
\lim_{n \to \infty} \int_I f_n(t)\,dt = \int_I f(t)\,dt.
n → ∞ lim ∫ I f n ( t ) d t = ∫ I f ( t ) d t . (9)
让* A A A 成为拓扑空间 F F F f f f 映射的 I × A I \times A I × A 变成完全规范的空间 E E E 超过 R \mathbf{R} R α ∈ A \alpha \in A α ∈ A x ↦ f ( x , α ) x \mapsto f(x, \alpha) x ↦ f ( x , α ) 受 I I I 如果，一方面，函数 x ↦ f ( x , α ) x \mapsto f(x, \alpha) x ↦ f ( x , α ) 均匀地收敛于 I I I 到函数 x ↦ f ( x ) x \mapsto f(x) x ↦ f ( x ) 作为 α \alpha α 趋于 α 0 ∈ A ‾ \alpha_0 \in \overline{A} α 0 ∈ A 同时保持在 A A A 另一方面，如果积分 ∫ I f ( x , α ) d x \int_I f(x, \alpha)\,dx ∫ I f ( x , α ) d x 一致收敛于 A A A ∫ I f ( x ) d x \int_I f(x)\,dx ∫ I f ( x ) d x 收敛，并且有
lim α → α 0 , α ∈ A ∫ I f ( x , α ) d x = ∫ I f ( x ) d x .
\lim_{\alpha \to \alpha_0,\ \alpha \in A} \int_I f(x, \alpha)\,dx = \int_I f(x)\,dx.
α → α 0 , α ∈ A lim ∫ I f ( x , α ) d x = ∫ I f ( x ) d x . (10)
命题 4（“关于参数的不正确积分的连续性”） 0897
设* F F F 为紧致空间，让 I I I 为 R \mathbf{R} R f f f 从 I × F I \times F I × F 连续的映射变成完全规范的空间 E E E 超过 R \mathbf{R} R 如果积分 h ( α ) = ∫ I f ( x , α ) d x h(\alpha) = \int_I f(x, \alpha)\,dx h ( α ) = ∫ I f ( x , α ) d x 一致收敛于 F F F α \alpha α 在 F F F
引用了 1 引用了 § 3. 。 函数的导数和积分取决于参数
鉴于道具。 II、p. 69中的第2个，这个命题也是从连续函数的均匀极限的连续性得出的（*Gen.Top.*、X、p. 282，第2个）。
3. 通常收敛的积分
令 ( f α ) α ∈ A (f_\alpha)_{\alpha \in A} ( f α ) α ∈ A I ⊂ R I \subset \mathbf{R} I ⊂ R R \mathbf{R} R E E E I I I g g g x ∈ I x \in I x ∈ I α ∈ A \alpha \in A α ∈ A ∥ f α ( x ) ∥ ≤ g ( x ) \|f_\alpha(x)\| \leq g(x) ∥ f α ( x ) ∥ ≤ g ( x ) ∫ I g ( t ) d t \int_I g(t)\,dt ∫ I g ( t ) d t ∫ I f α ( t ) d t \int_I f_\alpha(t)\,dt ∫ I f α ( t ) d t 绝对一致收敛 在 A A A I I I K K K
∥ ∫ K f α ( t ) d t ∥ ≤ ∫ K g ( t ) d t
\left\| \int_K f_\alpha(t)\,dt \right\| \leq \int_K g(t)\,dt
∫ K f α ( t ) d t ≤ ∫ K g ( t ) d t 整的∫ I g ( t ) d t \int_I g(t) \, dt ∫ I g ( t ) d t ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 J ⊂ I J \subset I J ⊂ I J J J K ⊂ I K \subset I K ⊂ I ∫ K g ( t ) d t ≤ ε \int_K g(t) \, dt \leq \varepsilon ∫ K g ( t ) d t ≤ ε g g g ∫ I f α ( t ) d t \int_I f_\alpha(t) \, dt ∫ I f α ( t ) d t A A A
积分可以一致收敛于A A A n ≤ x ≤ n + 1 n \leq x \leq n+1 n ≤ x ≤ n + 1 f n ( x ) = 1 / x f_n(x) = 1/x f n ( x ) = 1/ x ( f n ) (f_n) ( f n ) I = [ 0 , + ∞ [ I = [0, +\infty[ I = [ 0 , + ∞ [ x x x f n ( x ) = 0 f_n(x) = 0 f n ( x ) = 0 ∫ 1 ∞ f n ( t ) d t \int_1^\infty f_n(t) \, dt ∫ 1 ∞ f n ( t ) d t g ( x ) ≥ f n ( x ) g(x) \geq f_n(x) g ( x ) ≥ f n ( x ) x ∈ I x \in I x ∈ I n n n g ( x ) ≥ 1 / x g(x) \geq 1/x g ( x ) ≥ 1/ x g g g I I I
特别地，让我们考虑级数，其广义项u n u_n u n I I I ∥ u n ( x ) ∥ \|u_n(x)\| ∥ u n ( x ) ∥ I I I I I I ∫ I ∥ u n ( t ) ∥ d t \int_I \|u_n(t)\| \, dt ∫ I ∥ u n ( t ) ∥ d t g ( x ) g(x) g ( x ) ∥ u n ( x ) ∥ \|u_n(x)\| ∥ u n ( x ) ∥ ∫ I g ( t ) d t \int_I g(t) \, dt ∫ I g ( t ) d t f n = ∑ p = 1 n u p f_n = \sum_{p=1}^n u_p f n = ∑ p = 1 n u p ∫ I f n ( t ) d t \int_I f_n(t) \, dt ∫ I f n ( t ) d t
∥ f n ( x ) ∥ ≤ ∑ p = 1 n ∥ u p ( x ) ∥ ≤ g ( x )
\|f_n(x)\| \leq \sum_{p=1}^n \|u_p(x)\| \leq g(x)
∥ f n ( x ) ∥ ≤ p = 1 ∑ n ∥ u p ( x ) ∥ ≤ g ( x ) 对于所有x ∈ I x \in I x ∈ I n n n f f f u n u_n u n I I I ∫ I f ( t ) d t \int_I f(t) \, dt ∫ I f ( t ) d t
∫ I f ( t ) d t = ∑ n = 1 ∞ ∫ I u n ( t ) d t
\int_I f(t) \, dt = \sum_{n=1}^\infty \int_I u_n(t) \, dt
∫ I f ( t ) d t = n = 1 ∑ ∞ ∫ I u n ( t ) d t （“在非紧区间上逐项积分级数”）。
4. 紧区间上积分参数的导数
令A A A R \mathbf{R} R C \mathbf{C} C α 0 \alpha_0 α 0 I = [ a , b ] I = [a, b] I = [ a , b ] R \mathbf{R} R f f f I × A I \times A I × A E E E R \mathbf{R} R C \mathbf{C} C g ( α ) = ∫ a b f ( t , α ) d t g(\alpha) = \int_a^b f(t, \alpha) \, dt g ( α ) = ∫ a b f ( t , α ) d t A A A g g g α 0 \alpha_0 α 0 α ≠ α 0 \alpha \neq \alpha_0 α = α 0
g ( α ) − g ( α 0 ) α − α 0 = ∫ a b f ( t , α ) − f ( t , α 0 ) α − α 0 d t
\frac{g(\alpha) - g(\alpha_0)}{\alpha - \alpha_0} = \int_a^b \frac{f(t, \alpha) - f(t, \alpha_0)}{\alpha - \alpha_0} \, dt
α − α 0 g ( α ) − g ( α 0 ) = ∫ a b α − α 0 f ( t , α ) − f ( t , α 0 ) d t 所以（II，p. 69，cor.2），如果函数x ↦ f ( x , α ) − f ( x , α 0 ) α − α 0 x \mapsto \frac{\mathbf{f}(x, \alpha) - \mathbf{f}(x, \alpha_0)}{\alpha - \alpha_0} x ↦ α − α 0 f ( x , α ) − f ( x , α 0 ) x ↦ h ( x ) x \mapsto \mathbf{h}(x) x ↦ h ( x ) α \alpha α α 0 \alpha_0 α 0 ≠ α 0 \neq \alpha_0 = α 0 g g g α 0 \alpha_0 α 0 ∫ a b h ( t ) d t \int_a^b \mathbf{h}(t)\,dt ∫ a b h ( t ) d t x ∈ I x \in I x ∈ I f ( x , α ) − f ( x , α 0 ) α − α 0 \frac{\mathbf{f}(x, \alpha) - \mathbf{f}(x, \alpha_0)}{\alpha - \alpha_0} α − α 0 f ( x , α ) − f ( x , α 0 ) h ( x ) \mathbf{h}(x) h ( x ) h ( x ) \mathbf{h}(x) h ( x ) α ↦ f ( x , α ) \alpha \mapsto \mathbf{f}(x, \alpha) α ↦ f ( x , α ) α 0 \alpha_0 α 0 f α ′ ( x , α 0 ) \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha_0) f α ′ ( x , α 0 ) f \mathbf{f} f α \alpha α
g ′ ( α 0 ) = ∫ a b f α ′ ( t , α 0 ) d t .
g'(\alpha_0) = \int_a^b \mathbf{f}'_{\alpha}(t, \alpha_0)\,dt.
g ′ ( α 0 ) = ∫ a b f α ′ ( t , α 0 ) d t . (12)
下面的命题给出了一个非常简单的充分的条件来证明公式（12）的有效性：
假设偏导数* f α ′ ( x , α ) \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha) f α ′ ( x , α ) 对于所有 x ∈ I x \in I x ∈ I 和所有 α \alpha α 存在于 邻域* V V V α 0 \alpha_0 α 0 α ∈ V \alpha \in V α ∈ V x ↦ f α ′ ( x , α ) x \mapsto \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha) x ↦ f α ′ ( x , α ) 受 I I I 在这些条件下，如果 x ↦ f α ′ ( x , α ) x \mapsto \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha) x ↦ f α ′ ( x , α ) 一致收敛于 I I I 到 x ↦ f α ′ ( x , α 0 ) x \mapsto \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha_0) x ↦ f α ′ ( x , α 0 ) 作为 α \alpha α 趋于 α 0 \alpha_0 α 0 g ( α ) = ∫ a b f ( t , α ) d t g(\alpha) = \int_a^b \mathbf{f}(t, \alpha)\,dt g ( α ) = ∫ a b f ( t , α ) d t 承认导数，由下式给出公式 (12)，*在点* α 0 \alpha_0 α 0
引用了 1 引用了 I § 2. 。平均值值定理
事实上，对于每个ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 r > 0 r > 0 r > 0 ∣ α − α 0 ∣ ≤ r |\alpha - \alpha_0| \leq r ∣ α − α 0 ∣ ≤ r ∥ f α ′ ( x , α ) − f α ′ ( x , α 0 ) ∥ ≤ ε \| \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha) - \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha_0) \| \leq \varepsilon ∥ f α ′ ( x , α ) − f α ′ ( x , α 0 ) ∥ ≤ ε x ∈ I x \in I x ∈ I ∣ α − α 0 ∣ ≤ r |\alpha - \alpha_0| \leq r ∣ α − α 0 ∣ ≤ r α ≠ α 0 \alpha \neq \alpha_0 α = α 0 x ∈ I x \in I x ∈ I
∥ f ( x , α ) − f ( x , α 0 ) α − α 0 − f α ′ ( x , α 0 ) ∥ ≤ ε
\left\| \frac{\mathbf{f}(x, \alpha) - \mathbf{f}(x, \alpha_0)}{\alpha - \alpha_0} - \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha_0) \right\| \leq \varepsilon
α − α 0 f ( x , α ) − f ( x , α 0 ) − f α ′ ( x , α 0 ) ≤ ε 证明当α \alpha α α 0 \alpha_0 α 0 ≠ α 0 \neq \alpha_0 = α 0 f ( x , α ) − f ( x , α 0 ) α − α 0 \frac{\mathbf{f}(x, \alpha) - \mathbf{f}(x, \alpha_0)}{\alpha - \alpha_0} α − α 0 f ( x , α ) − f ( x , α 0 ) f α ′ ( x , α 0 ) \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha_0) f α ′ ( x , α 0 )
如果偏导数* f α ′ ( x , α ) \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha) f α ′ ( x , α ) 存在于 I × V I \times V I × V 并且是 ( x , α ) (x, \alpha) ( x , α ) 在此集合上的连续函数，则函数 g g g 承认由公式 (12) 给出的导数点 α 0 \alpha_0 α 0
事实上，如果 W 是包含在 V 中的 α 0 \alpha_0 α 0 ( x , α ) ↦ f α ′ ( x , α ) (x, \alpha) \mapsto \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha) ( x , α ) ↦ f α ′ ( x , α ) I × W I \times W I × W f α ′ ( x , α ) \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha) f α ′ ( x , α ) f α ′ ( x , α 0 ) \mathbf{f}'_{\alpha}(x, \alpha_0) f α ′ ( x , α 0 ) α \alpha α α 0 \alpha_0 α 0
来自道具。 5 推导出更通用的命题，当积分的被积数 f \mathbf{f} f α \alpha α
假设道具的假设。 5满足，令*a ( α ) a(\alpha) a ( α ) b ( α ) b(\alpha) b ( α ) V V V I I I 如果导数 a ′ ( α 0 ) , b ′ ( α 0 ) a'(\alpha_0),\ b'(\alpha_0) a ′ ( α 0 ) , b ′ ( α 0 ) g ( α ) = ∫ a ( α ) b ( α ) f ( t , α ) d t g(\alpha) = \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} f(t, \alpha)\, dt g ( α ) = ∫ a ( α ) b ( α ) f ( t , α ) d t α 0 \alpha_0 α 0
引用了 1 引用了 § 3. 。 函数的导数和积分取决于参数
g ′ ( α 0 ) = ∫ a ( α 0 ) b ( α 0 ) f α ′ ( t , α 0 ) d t + b ′ ( α 0 ) f ( b ( α 0 ) , α 0 ) − a ′ ( α 0 ) f ( a ( α 0 ) , α 0 ) .
g'(\alpha_0) = \int_{a(\alpha_0)}^{b(\alpha_0)} f'_\alpha(t, \alpha_0)\, dt + b'(\alpha_0)f(b(\alpha_0), \alpha_0) - a'(\alpha_0)f(a(\alpha_0), \alpha_0).
g ′ ( α 0 ) = ∫ a ( α 0 ) b ( α 0 ) f α ′ ( t , α 0 ) d t + b ′ ( α 0 ) f ( b ( α 0 ) , α 0 ) − a ′ ( α 0 ) f ( a ( α 0 ) , α 0 ) . 事实上，对于所有与α 0 \alpha_0 α 0 α ∈ V \alpha \in V α ∈ V
g ( α ) − g ( α 0 ) α − α 0 = ∫ a ( α 0 ) b ( α 0 ) f ( t , α ) − f ( t , α 0 ) α − α 0 d t + 1 α − α 0 ∫ b ( α 0 ) b ( α ) f ( t , α ) d t
\frac{g(\alpha) - g(\alpha_0)}{\alpha - \alpha_0} = \int_{a(\alpha_0)}^{b(\alpha_0)} \frac{f(t, \alpha) - f(t, \alpha_0)}{\alpha - \alpha_0}\, dt + \frac{1}{\alpha - \alpha_0} \int_{b(\alpha_0)}^{b(\alpha)} f(t, \alpha)\, dt
α − α 0 g ( α ) − g ( α 0 ) = ∫ a ( α 0 ) b ( α 0 ) α − α 0 f ( t , α ) − f ( t , α 0 ) d t + α − α 0 1 ∫ b ( α 0 ) b ( α ) f ( t , α ) d t − 1 α − α 0 ∫ a ( α 0 ) a ( α ) f ( t , α ) d t .
- \frac{1}{\alpha - \alpha_0} \int_{a(\alpha_0)}^{a(\alpha)} f(t, \alpha)\, dt.
− α − α 0 1 ∫ a ( α 0 ) a ( α ) f ( t , α ) d t . 通过道具。 II、p. 74的5，右边第一个积分趋于∫ a ( α 0 ) b ( α 0 ) f α ′ ( t , α 0 ) d t \int_{a(\alpha_0)}^{b(\alpha_0)} f'_\alpha(t, \alpha_0)\, dt ∫ a ( α 0 ) b ( α 0 ) f α ′ ( t , α 0 ) d t α \alpha α α 0 \alpha_0 α 0 f ( t , α ) f(t, \alpha) f ( t , α ) f ( b ( α 0 ) , α 0 ) f(b(\alpha_0), \alpha_0) f ( b ( α 0 ) , α 0 ) M = max ( ∥ f ( b ( α 0 ) , α 0 ) ∥ , ∣ b ′ ( α 0 ) ∣ + 1 ) M = \max (\|f(b(\alpha_0), \alpha_0)\|, |b'(\alpha_0)| + 1) M = max ( ∥ f ( b ( α 0 ) , α 0 ) ∥ , ∣ b ′ ( α 0 ) ∣ + 1 ) b ( α ) b(\alpha) b ( α ) α 0 \alpha_0 α 0 f f f ( b ( α 0 ) , α 0 ) (b(\alpha_0), \alpha_0) ( b ( α 0 ) , α 0 ) ε \varepsilon ε 0 < ε < 1 0 < \varepsilon < 1 0 < ε < 1 r > 0 r > 0 r > 0 ∣ α − α 0 ∣ ≤ r |\alpha - \alpha_0| \leq r ∣ α − α 0 ∣ ≤ r ∥ f ( t , α ) − f ( b ( α 0 ) , α 0 ) ∥ ≤ ε \|f(t, \alpha) - f(b(\alpha_0), \alpha_0)\| \leq \varepsilon ∥ f ( t , α ) − f ( b ( α 0 ) , α 0 ) ∥ ≤ ε t t t b ( α 0 ) b(\alpha_0) b ( α 0 ) b ( α ) b(\alpha) b ( α ) ∣ α − α 0 ∣ ≤ r |\alpha - \alpha_0| \leq r ∣ α − α 0 ∣ ≤ r ∣ b ( α ) − b ( α 0 ) α − α 0 − b ′ ( α 0 ) ∣ ≤ ε \left| \frac{b(\alpha) - b(\alpha_0)}{\alpha - \alpha_0} - b'(\alpha_0) \right| \leq \varepsilon α − α 0 b ( α ) − b ( α 0 ) − b ′ ( α 0 ) ≤ ε
平均而言值公式 (II, p 62, 公式 (17)) 因此有
∣ 1 α − α 0 ∫ b ( α 0 ) b ( α ) f ( t , α ) d t − b ( α ) − b ( α 0 ) α − α 0 f ( b ( α 0 ) , α 0 ) ∣ ≤ ∣ b ( α ) − b ( α 0 ) α − α 0 ∣ ε
\left| \frac{1}{\alpha - \alpha_0} \int_{b(\alpha_0)}^{b(\alpha)} f(t, \alpha)\, dt - \frac{b(\alpha) - b(\alpha_0)}{\alpha - \alpha_0} f(b(\alpha_0), \alpha_0) \right| \leq \left| \frac{b(\alpha) - b(\alpha_0)}{\alpha - \alpha_0} \right| \varepsilon
α − α 0 1 ∫ b ( α 0 ) b ( α ) f ( t , α ) d t − α − α 0 b ( α ) − b ( α 0 ) f ( b ( α 0 ) , α 0 ) ≤ α − α 0 b ( α ) − b ( α 0 ) ε 因而
∣ 1 α − α 0 ∫ b ( α 0 ) b ( α ) f ( t , α ) d t − b ′ ( α 0 ) f ( b ( α 0 ) , α 0 ) ∣ ≤ 2 M ε
\left| \frac{1}{\alpha - \alpha_0} \int_{b(\alpha_0)}^{b(\alpha)} f(t, \alpha)\, dt - b'(\alpha_0) f(b(\alpha_0), \alpha_0) \right| \leq 2M \varepsilon
α − α 0 1 ∫ b ( α 0 ) b ( α ) f ( t , α ) d t − b ′ ( α 0 ) f ( b ( α 0 ) , α 0 ) ≤ 2 M ε 这表明1 α − α 0 ∫ b ( α 0 ) b ( α ) f ( t , α ) d t \frac{1}{\alpha - \alpha_0} \int_{b(\alpha_0)}^{b(\alpha)} f(t, \alpha)\, dt α − α 0 1 ∫ b ( α 0 ) b ( α ) f ( t , α ) d t b ′ ( α 0 ) f ( b ( α 0 ) , α 0 ) b'(\alpha_0) f(b(\alpha_0), \alpha_0) b ′ ( α 0 ) f ( b ( α 0 ) , α 0 ) 1 α − α 0 ∫ a ( α 0 ) a ( α ) f ( t , α ) d t \frac{1}{\alpha - \alpha_0} \int_{a(\alpha_0)}^{a(\alpha)} f(t, \alpha)\, dt α − α 0 1 ∫ a ( α 0 ) a ( α ) f ( t , α ) d t a ′ ( α 0 ) f ( a ( α 0 ) , α 0 ) a'(\alpha_0) f(a(\alpha_0), \alpha_0) a ′ ( α 0 ) f ( a ( α 0 ) , α 0 )
5. 非紧区间上积分参数的导数
集合 V V V R \mathbf{R} R f f f I × V I \times V I × V α ∈ V \alpha \in V α ∈ V g ( α ) = ∫ I f ( t , α ) d t g(\alpha) = \int_I f(t, \alpha)\, dt g ( α ) = ∫ I f ( t , α ) d t α \alpha α g g g 不需要有等于 ∫ I f α ′ ( t , α 0 ) d t \int_I f'_\alpha(t, \alpha_0)\, dt ∫ I f α ′ ( t , α 0 ) d t 在点 α 0 \alpha_0 α 0 f α ′ ( x , α ) f'_\alpha(x, \alpha) f α ′ ( x , α ) f α ′ ( x , α 0 ) f'_\alpha(x, \alpha_0) f α ′ ( x , α 0 ) α ∈ V \alpha \in V α ∈ V ∫ I f α ′ ( t , α ) d t \int_I f'_\alpha(t, \alpha) \, dt ∫ I f α ′ ( t , α ) d t
足以使公式 (12) (II, p. 74) 保持有效的条件由以下命题给出：
令I为R \mathbf{R} R f f f I × V I \times V I × V f α ′ ( x , α ) f'_\alpha(x, \alpha) f α ′ ( x , α ) x ∈ I x \in I x ∈ I α ∈ V \alpha \in V α ∈ V α ∈ V \alpha \in V α ∈ V x ↦ f α ′ ( x , α ) x \mapsto f'_\alpha(x, \alpha) x ↦ f α ′ ( x , α ) α ∈ V \alpha \in V α ∈ V f α ′ ( x , β ) f'_\alpha(x, \beta) f α ′ ( x , β ) f α ′ ( x , α ) f'_\alpha(x, \alpha) f α ′ ( x , α ) β \beta β α \alpha α ∫ I f α ′ ( t , α ) d t \int_I f'_\alpha(t, \alpha) \, dt ∫ I f α ′ ( t , α ) d t V V V ∫ I f ( t , α 0 ) d t \int_I f(t, \alpha_0) \, dt ∫ I f ( t , α 0 ) d t
引用了 2 引用了 II § 1. 。原语和积分 , § 3. 。 函数的导数和积分取决于参数
在这些情况下，整的g ( α ) = ∫ I f ( t , α ) d t g(\alpha) = \int_I f(t, \alpha) \, dt g ( α ) = ∫ I f ( t , α ) d t V V V g g g V V V
g ′ ( α ) = ∫ I f α ′ ( t , α ) d t .
g'(\alpha) = \int_I f'_\alpha(t, \alpha) \, dt.
g ′ ( α ) = ∫ I f α ′ ( t , α ) d t . ∫ I f α ′ ( t , α ) d t \int_I f'_\alpha(t, \alpha) \, dt ∫ I f α ′ ( t , α ) d t V V V J J J K ( I ) \mathfrak{K}(I) K ( I ) Φ \Phi Φ α ↦ ∫ J f α ′ ( t , α ) d t \alpha \mapsto \int_J f'_\alpha(t, \alpha) \, dt α ↦ ∫ J f α ′ ( t , α ) d t V V V u J ( α ) = ∫ J f ( t , α ) d t u_J(\alpha) = \int_J f(t, \alpha) \, dt u J ( α ) = ∫ J f ( t , α ) d t u J ( α 0 ) u_J(\alpha_0) u J ( α 0 ) Φ \Phi Φ u J ′ ( α ) = ∫ J f α ′ ( t , α ) d t u'_J(\alpha) = \int_J f'_\alpha(t, \alpha) \, dt u J ′ ( α ) = ∫ J f α ′ ( t , α ) d t α ∈ V \alpha \in V α ∈ V u J u_J u J K ( I ) \mathfrak{K}(I) K ( I ) Φ \Phi Φ
6. 变换阶整合
设I = [ a , b ] I = [a, b] I = [ a , b ] A = [ c , d ] A = [c, d] A = [ c , d ] R \mathbf{R} R f f f I × A I \times A I × A R \mathbf{R} R ∫ a b f ( x , α ) d x \int_a^b f(x, \alpha) \, dx ∫ a b f ( x , α ) d x A A A α \alpha α ∫ c d ( ∫ a b f ( x , α ) d x ) d α \int_c^d \left( \int_a^b f(x, \alpha) \, dx \right) d\alpha ∫ c d ( ∫ a b f ( x , α ) d x ) d α ∫ c d d α ∫ a b f ( x , α ) d x \int_c^d d\alpha \int_a^b f(x, \alpha) \, dx ∫ c d d α ∫ a b f ( x , α ) d x
∫ c d d α ∫ a b f ( x , α ) d x = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , α ) d α
\int_c^d d\alpha \int_a^b f(x, \alpha) dx = \int_a^b dx \int_c^d f(x, \alpha) d\alpha
∫ c d d α ∫ a b f ( x , α ) d x = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , α ) d α （“公式交换阶积分”）。
我们将证明，对于所有 y ∈ A y \in A y ∈ A
∫ c y d α ∫ a b f ( x , α ) d x = ∫ a b d x ∫ c y f ( x , α ) d α .
\int_c^y d\alpha \int_a^b f(x, \alpha) dx = \int_a^b dx \int_c^y f(x, \alpha) d\alpha.
∫ c y d α ∫ a b f ( x , α ) d x = ∫ a b d x ∫ c y f ( x , α ) d α . 由于(16)的两侧是y y y y = c y = c y = c ] c , d [ ]c, d[ ] c , d [ g ( α ) = ∫ a b f ( x , α ) d x g(\alpha) = \int_a^b f(x, \alpha) dx g ( α ) = ∫ a b f ( x , α ) d x h ( x , y ) = ∫ c y f ( x , α ) d x h(x, y) = \int_c^y f(x, \alpha) dx h ( x , y ) = ∫ c y f ( x , α ) d x
∫ c y g ( α ) d α = ∫ a b h ( x , y ) d x .
\int_c^y g(\alpha) d\alpha = \int_a^b h(x, y) dx.
∫ c y g ( α ) d α = ∫ a b h ( x , y ) d x . 现在，第一个项相对于y y y g ( y ) g(y) g ( y ) ∫ a b h y ′ ( x , y ) d x \int_a^b h_y'(x, y) dx ∫ a b h y ′ ( x , y ) d x h y ′ ( x , y ) = f ( x , y ) h_y'(x, y) = f(x, y) h y ′ ( x , y ) = f ( x , y ) I × A I \times A I × A
现在假设A = [ c , d ] A = [c, d] A = [ c , d ] R \mathbf{R} R R \mathbf{R} R f f f I × A I \times A I × A g ( α ) = ∫ I f ( t , α ) d t g(\alpha) = \int_I f(t, \alpha) dt g ( α ) = ∫ I f ( t , α ) d t α ∈ A \alpha \in A α ∈ A g ( α ) g(\alpha) g ( α ) A A A ∫ c d d α ∫ I f ( t , α ) d t \int_c^d d\alpha \int_I f(t, \alpha) dt ∫ c d d α ∫ I f ( t , α ) d t ∫ I d t ∫ c d f ( t , α ) d α \int_I dt \int_c^d f(t, \alpha) d\alpha ∫ I d t ∫ c d f ( t , α ) d α ∫ c d d α ∫ I f ( t , α ) d t \int_c^d d\alpha \int_I f(t, \alpha) dt ∫ c d d α ∫ I f ( t , α ) d t
如果函数 f 在I × A 上连续，并且如果积分 ∫ I f ( t , α ) d t \int_I f(t, \alpha) dt ∫ I f ( t , α ) d t ∫ I d t ∫ c d f ( t , α ) d α \int_I dt \int_c^d f(t, \alpha) d\alpha ∫ I d t ∫ c d f ( t , α ) d α
引用了 1 引用了 § 3. 。 函数的导数和积分取决于参数
∫ c d d α ∫ I f ( t , α ) d t = ∫ I d t ∫ c d f ( t , α ) d α .
\int_c^d d\alpha \int_I f(t, \alpha) dt = \int_I dt \int_c^d f(t, \alpha) d\alpha.
∫ c d d α ∫ I f ( t , α ) d t = ∫ I d t ∫ c d f ( t , α ) d α . 对于I中包含的每个紧区间J，放入u J ( α ) = ∫ J f ( t , α ) d t u_J(\alpha) = \int_J f(t, \alpha) dt u J ( α ) = ∫ J f ( t , α ) d t K ( I ) \mathscr{K}(I) K ( I ) Φ \Phi Φ u J u_J u J ∫ I f ( t , α ) d t \int_I f(t, \alpha) dt ∫ I f ( t , α ) d t ∫ c d d α ∫ J f ( t , α ) d t \int_c^d d\alpha \int_J f(t, \alpha) dt ∫ c d d α ∫ J f ( t , α ) d t Φ \Phi Φ ∫ c d d α ∫ I f ( t , α ) d t \int_c^d d\alpha \int_I f(t, \alpha) dt ∫ c d d α ∫ I f ( t , α ) d t
∫ c d d α ∫ J f ( t , α ) d t = ∫ J d t ∫ c d f ( t , α ) d α .
\int_c^d d\alpha \int_J f(t, \alpha) dt = \int_J dt \int_c^d f(t, \alpha) d\alpha.
∫ c d d α ∫ J f ( t , α ) d t = ∫ J d t ∫ c d f ( t , α ) d α . 因此，前面的结果意味着积分∫ 1 d t ∫ c d f ( t , α ) d α \int_1 dt \int_c^{d} f(t, \alpha) d\alpha ∫ 1 d t ∫ c d f ( t , α ) d α Φ \Phi Φ
习题
参见习题为 § 3 。