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20. 函数空间。

我们知道，任意函数的概念在十九世纪初并没有出现太多之前。更重要的是，以一般方式研究集合或函数，并为它们提供拓扑结构的想法并没有出现之前黎曼（参见p. 141），也没有在十九世纪末开始使用之前。

然而，自无穷小演算开始以来，数值函数收敛于序列的概念就或多或少有意识地被使用。但这只是一个简单收敛的问题，否则不可能是收敛的级数和连续的函数已经被博尔扎诺和柯西准确地定义了之前概念。后者在第一次尝试时没有看到简单收敛和一致收敛之间的区别，并相信可以证明连续函数的每个收敛级数都具有作为和的连续函数（[56a]，（2），第III，p. 120）。阿贝尔几乎立即发现了这个错误，他同时证明了每个完整的级数在其收敛区间的内部都是连续的，其论证已成为经典，在这种特殊情况下，本质上使用了一致收敛的思想（[1]，v.I，第223-224页）。剩下的只是以一般的方式脱离后者，斯托克斯和塞德尔在 1847-48 年独立完成了这一点，柯西本人在 1853 年独立完成了这一点（[56 a]，（1），卷XII，p. 30）。$^1$

在 Weierstrass 和 Riemann 的影响下，德国人学校 (Hankel, du Bois-Reymond)，尤其是意大利人学校，在 19 世纪后 30 世纪对一致收敛性和相关问题的概念进行了系统研究：Dini 和 Arzelà 指定了极限所必需的条件连续函数的序列是连续的，而Ascoli引入了等连续性的基本概念，并证明了定理表征连续函数的紧集[10]（定理后来由蒙特尔在他的“正常家庭”理论中推广，它们正是相对紧集分析函数）。

$^1$ 在一部 1841 年但仅在 1894 年出版的著作中（[329 a]，v. I，第 67-74 页），Weierstrass 将一致收敛的概念完美清晰地用于一个或多个复变量的幂级数（这是他第一次给它起这个名字）。

另一方面，Weierstrass 本人发现了（[329 a]，v. III，第 1-37 页）通过多项式一致逼近有界集合上一个或多个实变量的连续数值函数的可能性，这一结果立即引起了人们的浓厚兴趣，并导致了许多“定量”研究，这些研究仍然在我们的观点点之外。目前跟随。

现代对这些问题的贡献首先在于，通过将它们发挥作用于函数，其中定义的集合和值的集合不再局限于$\mathbf{R}$或有限维的空间，并因此将它们置于其自然框架中，一般拓扑概念的帮助。特别是，Weierstrass 的定理，它已经证明自己是古典数学分析中第一个阶的工具，在后来的几年中，M. H. Stone 可以将其扩展到更一般的情况：发展 H. Lebesgue 提出的想法（在 Weierstrass 的证明和定理中），他强调了所发挥的重要作用连续数值函数通过格的近似（通过“格多项式”近似），另一方面表明Weierstrass的广义定理如何立即意味着类似近似定理的整个级数，因此以更加连贯的方式分组[301c]。