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21. 拓扑向量空间。

拓扑向量空间的一般理论创立于大约1920年至1930年期间。但它是通过对函数数学分析的无数问题的研究，准备了很长时间之前；及其历史不能可以追溯，但至少不能概括地指出，对这些问题的研究如何逐渐使数学家（特别是从二十世纪初期开始）意识到公共的正在考虑的问题的祖先，以及以更普遍的方式表述它们的可能性以及将应用统一为它们的解程序。

可以说，代数和数学分析之间的类比，以及将函数方程（即未知数是函数）视为代数方程的“极限情况”的想法，可以追溯到无穷小演算的开始，它在某种程度上回答了“从有限到无限”推广的需要。但无穷小演算的直接代数祖先是有限差分的演算（cf.第185页），而不是一般线性系统的解；后者与微分器演算的问题之间的第一个类比并不是在之前十八世纪中叶就与振弦方程相关。这里我们就不详细介绍这个问题的历史了；但我们必须注意到两个基本思想的出现，这两个基本思想在下文中不断出现，而且似乎都源于伯努利。第一个是将绳索的振动视为 $n$ 点质量的系统振动的“极限情况”，因为 $n$ 趋于无穷大；众所周知，对于$n$有限，这个问题稍后会给出搜索线性变换的特征值的第一个例（cf.p. 88）；除了数之外，还有对应，在“通往极限的通道”中，弦线的“固有振动”频率是自之前以来通过实验观察到的，并且其理论存在已在本世纪初建立（特别是由泰勒）。这种正式的类比虽然在随后的内容中很少被提及（[302 b]，p. 390），但在十九世纪似乎从未被忽视；但是，正如我们稍后将看到的，它直到 1890 年至 1900 年左右才获得充分的重要性。

D.伯努利的另一个想法（可能受到实验事实的启发）是“叠加的原理”，根据该理论，最一般的弦振动必须能够“分解”为“固有振动”的叠加，从数学上来说，这意味着振动弦方程的一般解必须能够展开为级数 $\sum_n c_n \phi_n(x,t)$，其中$\phi_n(x,t)$代表适当的振荡。众所周知，这个原理引发了一场关于将“任意”函数扩展为三角函数级数的可能性的长期争论，直到十九世纪上半叶傅里叶和狄利克雷的工作才解决了这场争论。但即使达到了之前这个结果，其他例也满足了“正交”$^1$函数的级数中的展开：球面函数和勒让德多项式，以及形式的不同系统 $(e^{i \lambda_n x})$，其中$\lambda_n$不再是相同的数的倍数，并且它们是从十八世纪振荡问题中引入的，以及由傅里叶和泊松在他们关于热理论的研究期间引入的。 1830 年左右，Sturm [302 a 和 b] 和 Liouville [204 a 和 b] 在一般振荡理论中系统化了在这些不同特殊情况下观察到的所有现象，对于一个变量的函数：他们考虑微分方程

有边界条件

并证明以下基本结果：

1）当$\lambda$从数$> 0$的序列$(\lambda_n)$取值之一时，问题只有解$\neq 0$，趋于$+\infty$； 2）对于每个$\lambda_n$，解是相同的函数$v_n$的倍数，可以假设通过条件$\int_a^b \rho v_n^2 dx = 1$“标准化”，并且对于$m \neq n$我们有$\int_a^b \rho v_m v_n dx = 0$； 3) 每个函数$f$，在$[a, b]$中两次可微，并且满足边界条件(21.2)，可扩展为一致收敛的级数$f(x) = \sum_n c_n v_n(x)$，其中$c_n = \int_a^b \rho f v_n dx$； 4) 我们有等式 $\int_a^b \rho f^2 dx = \sum_n c_n^2$（已经由 Parseval 在 1799 年以纯粹形式的方式证明了，此外，对于三角函数函数的系统，并且从它立即流出后者所说的“贝塞尔不等式”（仍然对于三角函数级数） 1828）。

半个世纪后，这些性质由 Gram [133] 的工作完成，他继 Tchebychef 的研究之后，揭示了正交函数和问题的级数中展开之间的关系

$^1$这个项没有出现，但是之前希尔伯特的作品。

“最佳二次近似”（在误差理论中，直接从高斯的“至少平方的方法”得出）：后者包含给定函数 $(\psi_i)_{1 \leq i \leq n}$ 的有限序列，对于函数 $f$、线性组合 $\sum_i a_i \psi_i$ 整的 $\int_a^b \rho(f - \sum_i a_i \psi_i)^2 dx$ 达到最小值。在原理中，这是一种只有基本线性代数问题的情况，但 Gram 以一种原始的方式解决了它，通过应用到 $\psi_i$ 的“正交归一化”过程，通常被称为 Erhard Schmidt。接下来继续无限正交系统$(\phi_n)$的情况，他集合自己知道什么时候知道函数$f$的“最佳二次近似”$\mu_n$乘以第一个$n$函数的线性组合序列，当$n$趋于无穷大时，趋于0；$^2$由此引向完全正交系统的定义概念，并认识到这个性质等价于函数$\neq 0$不存在与所有$\phi_n$正交。他甚至试图阐明“平均二次收敛”的概念，但是，由于之前引入了测度论的基础概念，他在这个方向上很难得到任何非常具体的结果。

十九世纪下半叶，分析家的主要精力主要集中在Sturm-Liouville理论的扩张到多个变量的函数，这主要导致了对数学物理中椭圆型偏微分方程以及与之自然相关的边界问题的研究。兴趣主要集中在“振动膜”方程上

其中解是在相当规则的域 $G$ 的轮廓上寻找零的； 问题带来的相当大的分析困难才逐渐被克服，问题被认为不可能应用方法，而方法已经成功地应用于单个变量的函数。让我们回顾一下解的主要阶段：$G$的“格林函数”的引入，其存在已被施瓦茨证明； 证明，也归功于施瓦茨，最小的特征值的存在；最后，在 1894 年，在著名的回忆录 ([251 a], v. IX, pp. 123-196) 中，H. Poincaré 通过考虑给定的“第二成员”$f$、解，成功地证明了证明所有特征值的存在和本质属性方程 $L_\lambda(u) = f$ 的 $u_\lambda$ 是等高线上的零，而在证明中，通过 Schwarz 的方法的巧妙推广，$u_\lambda$ 是复数变量 $\lambda$ 的亚纯函数，仅具有实单极点 $\lambda_n$，这正是所寻求的特征值。

这个研究与线性积分方程理论的起源密切相关，它无疑对现代思想的出现做出了最大的贡献。我们将在这里极限给出一些简短的指示

$^2$ 必须指出的是，在所有这项研究中，Gram 本人并没有考虑极限连续函数，而是坚持条件$\int_a^b \rho f^2 dx < +\infty$的重要性。

关于这一理论的发展。函数方程的型首次零星出现于十九世纪上半叶（阿贝尔、刘维尔），自比尔和C以来变得越来越重要。诺依曼将相当规则的域$G$的“狄利克雷问题”的解减少到“第二个型的积分方程”的解

对于未知的函数$u$； C 的方程。诺伊曼于 1877 年成功地通过“逐次逼近”过程进行了求解。毫无疑问，受到前面提到的代数类比和他刚刚在振动膜方程上获得的结果的推动，H. Poincaré 在 1896 年 ([251 a], v. IX, pp. 202-272) 产生了引入可变参数的想法$\lambda$位于上式积分前面，并确定对于振动膜方程，解是$\lambda$的亚纯函数；但他在证明这个结果上没有成功，这个结果是由I才成立的（对于连续的“核”$K$和有限区间$[a, b]$）。四年后弗雷德霍尔姆[116]。后者甚至比他的前任更有意识地让自己完全被（21.4）与线性系统的类比所引导。

在阶中获得 (21.4) 的解，作为在 Cramer 的公式中出现的行列式模型构建的两个表达式的商。这不只是一个新想法：从十九世纪初，“不定系数”的方法（假设在级数$\sum_n c_n \phi_n$中可展开的由……组成获得未知的函数，其中$\phi_n$已知函数，通过计算系数$c_n$）导致了“线性” 系统在无限的未知中”

傅立叶遇到这样的系统，仍然像十八世纪的数学家一样“解决”它：他抑制了所有指标$i$或$j$大于$n$的项，通过克莱默规则显式地解决了由此获得的有限系统，然后“传递给极限”通过使$n$在解趋向于$+\infty$！当后来玩这种偷懒的传递包裹的游戏已经不够的时候，仍然是借助行列式理论，第一次尝试攻击问题；从 1886 年开始（继希尔的工作之后），H. Poincaré，然后是 H. von Koch，建立了“无限行列式”理论，该理论允许遵循经典模型，系统 (21.6) 的某些型中的解；如果这些结果不能直接适用于 Fredholm 所针对的问题，至少可以肯定的是，冯·科赫的理论尤其可以用作形成他的“行列式”的模型。

正是在这个时候，希尔伯特登场，给该理论带来了新的推动力[163b]。他首先完成 Fredholm 的工作，有效地实现从 (21.5) 的解通向 (21.4) 的极限；但他立即将实二次理论形式的相应的段落添加到极限，其中具有对称核（也就是说$K(y, x) = K(x, y)$）的积分方程的型自然领先，迄今为止在数学物理中最常见。因此，他得出了基本的公式，直接推广了二次方形式向其轴的约简

$\lambda_n$是核$K$的特征值（必然是实数），$\phi_n$形成相应的特征函数的正交系统，公式（21.7）的第二个成员是级数的收敛$\int_a^b x^2(s)dx \leq 1$。他还展示了形式$f(x) = \int_a^b K(x, y)g(y)dy$中的每个函数“可表示”如何允许“展开”$\sum_{n=1}^\infty \phi_n \int_a^b \phi_n(y)f(y)dy$，并与经典二次理论形式进行类比，他指出了通过变分方法确定$\lambda_n$的过程，这不是其他的比众所周知的二次曲面轴的极值属性的扩张 ([163 b], 第 1-38 页)。

希尔伯特的这些初步结果几乎立即被 E. Schmidt，在一个更简单和更一般的形式中，避免引入“Fredholm行列式”以及从有限到无限的过渡，并且已经非常接近抽象的叙述，积分的线性和正性的基本属性仅在证明[274a]中明显使用。 但希尔伯特已经得出了更为普遍的概念。 所有前面的工作都表明了平方可积的函数的重要性，并且Parseval公式在这些函数和序列$(c_n)$之间建立了紧密的联系，使得$\sum_n c_n^2 < +\infty$。 毫无疑问，这一思想指导了希尔伯特 1906 年的回忆录（[163 b]，第 XI-XIII），其中，他采用了“不定系数”的旧方法，证明了积分方程 (21.4) 的解相当于无穷大的系统。线性方程组

对于未知函数 $u$ 的“傅里叶系数”$x_p = \int_a^b u(t)\omega_p(t)dt$ 相对于给定的完全正交系统 $(\omega_n)$（与 $b_p = \int_a^b f(t) \omega_p(t) dt \text{ and } k_{pq} = \int_a^b \int_a^b K(s,t) \omega_p(s) \omega_q(t) ds dt$）。同样，从这个点的角度来看，(21.8)中唯一需要考虑的解是那些$\sum_n x_n^2 < +\infty$；希尔伯特本人也正是针对解的型进行了系统的极限；但与此相反，他放松了对“无限矩阵”（$k_{pq}$）施加的条件（在（21.8）中，$\sum_{p,q} k_{pq}^2 < +\infty$）。从那一刻起，很明显，序列$x = (x_n)$的“希尔伯特空间”实数，使得$\sum_n x_n^2 < +\infty$虽然没有明确介绍，但却是所有理论的基础，并且表现为从欧氏空间开始的“通往极限的通道” 有限维。除此之外，对于后续发展特别重要的是，希尔伯特在这个空间中不仅引入了一个，而且引入了两个不同的概念收敛（相应的到所谓的弱拓扑和强拓扑$^3$），以及一个“原理” 选择”正是单位球的弱紧密度的性质。他与系统（21.8）的解相关开发的新线性代数完全依赖于这些拓扑概念：线性映射、线性形式和双线性形式（与线性映射相关）根据其分类和研究“连续性”$^4$ 属性。特别是，希尔伯特发现Fredholm的方法的成功取决于概念的“完全连续性”，这是他通过对双线性形式$^5$的阐述并深入研究而得出的；我们无法在这里详细介绍这个重要的概念，也无法详细介绍希尔伯特开创对称双线性形式（有界或无界）谱理论的令人钦佩且深入的工作。

希尔伯特的语言仍然是古典的，并且在整个《基本原理》中，他从未停止考虑该理论的应用，并发展了许多例（约占半卷）。下一代人将会采用更抽象的点观点。在Fréchet和F. Riesz关于一般拓扑的思想的影响下（参见p. 142），E. Schmidt [274 b]和Fréchet本人在1907-1908年有意将欧氏几何语言引入“希尔伯特空间”（实数或复数）；正是在这些作品中，第一次提到范数（与实际的记号$||x||$），它满足的三角形不等式，希尔伯特空间是“可分离的”和完整的事实；此外，E. Schmidt 证明了闭线性簇上正交投影的存在性，这使他能够为希尔伯特线性系统理论提供更简单、更一般的形式。 1907 年，Fréchet 和 F. Riesz 注的空间

$^3$演算的变体已经以自然的方式导致考虑函数的相同集合收敛的不同概念（取决于是否只坚持函数一致收敛，或函数及其导数的某个数一致收敛）；但希尔伯特定义的型收敛模式在当时是相当新的。

$^4$ 必须注意的是，直到大约 1935 年，“连续”函数在实践中始终意味着映射映射每个收敛级数到收敛级数。

$^5$ 对于希尔伯特来说，双线性形式 $B(x,y)$ 是完全连续的，如果当序列 $(x_n), (y_n)$ 分别弱趋于 $x$ 和 $y$ 时，$B(x_n, y_n)$ 趋于 $B(x, y)$。

平方可求和级数具有完全类似的“几何”；几个月后，当 F. Riesz 和 E. Fischer 证明这个空间是完整的并且与“希尔伯特空间”同构时，这个类比得到了完美的解释，同时以令人惊讶的方式推出了 Lebesgue 新创建的工具的值。从那时起，希尔伯特理论空间的本质点可以被认为是后天获得的；在最近的进展中，最值得一提的是 M. H. Stone 和 J. von Neumann 在 1930 年左右对理论的公理化表述，以及 1934 年左右在 Rellich、Löwig 和 F. Riesz 的著作中放弃“可分离性”的限制 [260 g]。

然而，在二十世纪初，其他思想流不断涌现，强化了导致规范空间理论的趋势。 “泛函”的一般思想（也就是说，集合上定义了函数和数值值，其元素本身就是一个或多个实变量的数值函数）是在十九世纪最后几十年提出的，一方面与变分的演算相关，另一方面与积分方程理论相关。但如果它主要针对意大利人学校，在平切尔周围，尤其是沃尔泰拉，那是由于这个概念的曝光，以及“操作员”的更普遍的概念，这个学校的作品通常仍然具有还过得去的正式性质，并且依附于特定型的问题，缺乏足够的深度数学分析基本拓扑概念。 1903年，Hadamard开创了现代“拓扑”对偶性理论，通过在紧区间$I$（空间配有一致收敛的拓扑）上寻找数值函数的空间$C(I)$上最一般的连续线性“泛函”，并将它们描述为$x \mapsto \int_I k_n(t)x(t)dt$积分序列的极限。 1907年，Fréchet和F. Riesz以同样的方式证明，在希尔伯特空间上，连续线性形式是希尔伯特引入的“有界”形式；然后，在 1909 年，F. Riesz 通过用 Stieltjes 积分表达 $C(I)$ 上的所有连续线性泛函，将形式 Hadamard 的定理纳入确定性，定理后来成为现代积分理论出发点的点（参见p. 226）。

次年，仍为F。 Riesz [260 c]通过引入和研究（复制自希尔伯特空间的理论）函数的空间$L^p(I)$，在理论中取得了新的重要进展，这些$p$幂可在区间$I$内求和（对于指数$p$，使得$1 < p < +\infty$），三年后他跟踪了一项研究 [260 e]，对序列 $L^p(\mathbf{N})$ 的空间进行了类似的研究；正如我们稍后将看到的，这些研究极大地有助于澄清对偶性的想法，因为这里第一次遇到了两个对偶且非自然同构的空间。$^6$

$^6$ 虽然此时大多数关于勒贝格积分的著作都隐含了$L^1$和$L^\infty$之间的对偶性，但直到1918年，H. Steinhaus才证明$L^1(I)$（$I$有限区间）上的每个连续线性形式都是形式$x \mapsto \int_I f(t)x(t)dt$，其中$f \in L^\infty(I)$。

从那时起，F. Riesz 就开始思考一项包含所有这些结果的公理化研究（[260 c]，p. 452）；似乎只是一个分析师担心自己与经典数学不相距太远，才阻止他在 1918 年将 Fredholm 理论著名的回忆录写在这个形式 [260 f] 中。他认为函数的原理空间$C(I)$在紧区间上连续；但是，之后已经定义了这个空间的范数，并指出$C(I)$与这个范数一起是完整的，他在他的论证中再也没有使用除了规范完整的空间的公理之外的任何东西。$^7$没有在这里详细检查这项工作，让我们提一下，这是第一次以完全连续线性映射的一般方式概念定义（通过将邻域变换为相对的紧集的性质）；$^8$，以及通过公理化数学分析的杰作，整个Fredholm 的理论（在其定性方面）被简化为单一基本定理，即每个规范局部紧致空间都是有限维的。

标准空间的一般定义由S. Banach、H. Hahn和E. Helly于1920-22年给出（后者仅考虑实数序列或复数的空间）。在接下来的十年里，空间理论主要围绕两个对应用具有根本重要性的问题展开：对偶性理论和附属于贝尔“范畴”概念的定理。

我们已经看到，二元性的思想（在拓扑意义上）可以追溯到二十世纪初。它是希尔伯特理论的基础，并在 F. Riesz 的著作中占据核心地位。后者观察到，对于例，早在 1911 年（[260 d]，第 41-42 页），关系 $|f(x)| \leq M \|x\|$（在希尔伯特空间中作为“有界”线性泛函的定义）等价于 $f$ 当处于空间$C(I)$，并且通过完全一般的特征标的论证。关于 $C(I)$ 上连续线性泛函的表征，他注还认为集合 $A$ 在 $C(I)$ 上稠密的条件是，$I$ 上不存在任何与每个“正交”的 Stieltjes 测度 $\mu \neq 0$ $A$ 的函数（因此将 Gram 条件推广为完全正交系统）；最后，在同一工作中，注空间 $L^\infty$ 的对偶比 Stieltjes 度量的空间“更大”（[260 d]，p. 62）。

除了注之外，$^7$ F. Riesz 明确指出，他的定理对连续函数的应用只是作为更一般概念的“试金石”（[260 f]，p. 71）。

$^8$ 在他关于 $L^p$ 空间的著作中，F. Riesz 将完全连续的映射定义为那些变换每个弱收敛的序列都变成强收敛的；在这种情况下，其中（考虑到$L^p$中单位球对于$1 < p < +\infty$的弱紧致性）等价于前面的定义；此外，F. Riesz指出，对于空间$L^2$，他的定义相当于希尔伯特的定义（通过将其从线性映射的语言翻译成双线性形式的语言（[260c]，p. 487））。

另一方面，在他对空间$L^p(I)$和$L^p(\mathbf{N})$的工作中，F. Riesz成功地将E. Schmidt [274 b]给出的希尔伯特空间中线性系统的方法修改为解，从而使其适用于更一般的情况。 E. Schmidt 的想法在于通过寻找方程 (21.6) 表示的封闭线性簇的点来确定 (21.6) 的“极值”解，其到原点的距离最小。利用同样的思想，F. Riesz 证明了条件的充分必要，存在函数 $x \in L^p(a, b)$ 满足方程组

（其中$\alpha_i$属于到$L^q$（与$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$）），以及$\int_a^b |x(t)|^p dt \leq M^p$，对于实数的所有有限序列$(\lambda_i)_{1 \leq i \leq n}$，有一个

1911年[260 d]，他以类似的方式对待“广义矩的问题”，求解系统的由……组成

其中$\alpha_i$是连续的，未知数是Stieltjes测度$\xi$;$^9$，并且这里可以看出问题可以用说来表示，这是通过给定点的序列上的值来确定$C(I)$上的连续线性函数的情况这个空间。正是在这个形式中，Helly在1912年处理了问题，——通过相当不同的方法和更广泛的适用性$^{10}$获得了F. Riesz的条件——并且他在1921年在更普遍的条件下再次讨论了它。引入范数的概念（在序列的空间），正如我们在上面看到的，他注认为这个概念概括了$n$维数的空间中凸体的“规格”，由闵可夫斯基在他关于“数几何”的著名著作中[221 a和b]。在这项工作的过程中，闵可夫斯基还定义了（在$\mathbf{R}^n$）

$^9$ 经典的“时刻的问题”对应，适用于间隔 ]$a, b$ 为 ]$0, +\infty$ 或 ]$-\infty, +\infty$ 的情况，并且其中 $\alpha_i(t) = t^i$； $\xi$条件也被强加为积极的（F. Riesz在他的1911年的回忆录中指出，当寻求这种类型的解时，他的一般性条件必须如何修改）。在经典矩问题的各种方法或解中，我们必须特别注意M. Riesz的，它优雅地结合了泛函演算的一般思想和复变量函数的理论，在$b_i$上获得显式条件[261]。 $^{10}$ 与 F. Riesz ([260 d], pp. 49-50) 一样，Helly 在证明中使用了“选择原理”，当然，这正是 Stieltjes 措施中空间中单位球的弱紧致性； F. Riesz 还在$L^p$ ($1 < p < +\infty$) 中使用了类似的性质。

支撑超平面和“支撑函数”的概念[221 b]，并证明在凸体的所有边界点处存在支撑超平面（[221 a]，第33-35页）。 Helly 扩展序列 $E$ 的概念至空间，配有任意范数；他在$E$和空间$E'$之间建立了序列$u = (u_n)$的对偶性，使得对于所有$x = (x_n) \in E$，级数$(u_n x_n)$应该收敛； $\langle u, x \rangle$指定这个级数的和，他通过公式$\sup_{x \neq 0} |\langle u, x \rangle| / ||x||$在$E'$范数中定义，这给出了有限维空间.$^{11}$的支持函数

$E$中系统(21.6)的解，其中序列$u_i = (a_{ij})_{j \geq 1}$中的每一个被假设为属于到$E'$、约化，如Helly所示，依次求解以下两个问题： $1^\circ$在规范化的空间$E'$上找到一个连续的线性形式$L$，使得对于每个指标$i$有$L(u_i) = b_i$，正如他所指出的，这导致条件等于型（21.10）； $2^\circ$ 求线性形式是否可以写成$u \mapsto \langle u, x \rangle$ 来表示$x \in E$。正如Helly观察到的，即使$L$存在，最后的问题也不一定有解，并且他极限自己给出了一些足够的条件，这意味着在某些特定情况下存在解$x \in E$[156]。

这些想法于 1927 年在 H. Hahn [142] 的基本回忆录中获得了明确的形式 [142]，两年后 S. Banach 再次（独立）发现了其结果 [14 c]。 Hahn 将 Minkowski-Helly 过程应用于任意赋范空间，因此给出（完整）赋范空间的对偶结构；这使得 Hahn 能够立即考虑规范化空间的连续对偶，并以 Helly 预见的一般方式陈述反身空间的问题。但最重要的是，连续线性泛函的扩张的加冕问题，同时保留其范数，哈恩以一种完全通用的方式，通过维数上的超限归纳论证，最终解决了问题——从而给出了选择公理在泛函中的重要应用的第一个例之一数学分析.$^{12}$ 对于这些结果，Banach 在连续线性映射及其转置之间添加了对关系的彻底研究，扩展到迄今为止仅针对空间 $L^p$ [260 c] 已知的一般规范空间结果，通过深度学习定理对偶的弱闭子集；此外，这些结果还以一种更引人注目的方式表达，即几年后由 Hausdorff 和 Banach 本人引入的范数空间的商空间的概念。最后，巴纳赫再次发现了单位球的弱紧致性（在许多特定情况下观察到，正如我们上面指出的）和自反性之间的联系，至少对于可数型（[14a]，p. 189）的空间来说是这样。从这一刻起，范数空间的对偶性理论就可以被认为在其主要方面得到了解决。

$^{11}$ 要以这种方式获得范数，必须假设所有 $x \in E$ 的关系 $\langle u, x \rangle = 0$ 隐含$u = 0$，除了 Helly 注之外，还明确地这样做。

$^{12}$ Banach 已经在 1923 年使用了类似的论证 [14 b]，在阶到定义平面上的不变测度（为所有有界子集定义）。

同时澄清了一些矛盾方面的定理，其中第一个例可以追溯到1910年的邻域。那一年海灵格和托普利茨实际上证明了，在希尔伯特空间上有界双线性形式$B_n(x, y)$的序列，对于每个给定的对 $(a, b)$，其值 $B_n(a, b)$ 都是有界的（数依赖于 $a$ 和 $b$ 先验），实际上在每个球上都 一致有界。他们的证明通过矛盾进行，并在于通过归纳方法构建一个特定的对$(a, b)$违反假设，此后被称为“滑动驼峰的方法”，并且仍在许多类似的问题中使用。早在 1905 年，勒贝格就使用了类似的过程来证明连续函数的存在，其傅里叶级数在某个点处发散；并且，与 Hellinger 和 Toeplitz 同年，他应用相同的方法来证明 $L^1$ 中的弱收敛级数的边界为范数。$^{13}$ 这些例在接下来的几年中相乘，但直到 1927 年，巴纳赫和Steinhaus（与 S. Saks 的部分合作）将这些现象与薄集合的概念以及完全度量空间上贝尔的定理连接起来，获得了涵盖所有先前特殊情况的通用叙述 [15]。除了对规范完备空间中“范畴”问题的研究之外，巴纳赫还同时得出了关于连续线性映射的许多其他结果；最引人注目且无疑是最深刻的是“封闭图”的定理，它与Banach-Steinhaus定理一样，表明自己是现代泛函数学分析中第一个阶的工具[14 c]。

巴纳赫关于“线性算子”的论文[14a]的出版可以说标志着有范空间理论成熟时代的开始。我们一直在谈论的所有结果，以及许多其他结果，都在本书中以集合的方式呈现，虽然仍然有点杂乱无章，但伴随着许多引人注目的例取自数学分析的不同领域，这似乎预示着该理论的辉煌未来。事实上，这项工作取得了相当大的成功，其最大的直接的影响之一是该语言的准普遍采用和巴纳赫使用的记号。但是，尽管在 Banach 空间 ([203 bis]) 上进行了 40 年的大量研究的研究，如果把 Banach 代数的理论及其在交换和非交换调和数学分析上的应用排除在外，那么该理论几乎完全没有在经典的大问题上得到新的应用。 数学分析多少让基于它的希望落空了。

相反，正是在概念相对于规范的空间的扩展和更具推力的公理化数学分析的意义上，才发生了最富有成效的发展。虽然功能空间从一开始就满足了-

$^{13}$ 让我们也注类似的（更简单的）定理由 Landau 在 1907 年证明，并作为 F. Riesz 在他的 $L^p$ 空间理论中的出发点：如果级数与一般项 $u_n x_n$所有序列$(x_n) \in L^q(\mathbf{N})$、序列$(u_n)$属于收敛到$L^p(\mathbf{N})$（与$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$）。

二十世纪的大多数部分都配备了“自然”范数，但也有一些例外被注意到。 1910年左右，E. H. Moore提出将一致收敛的概念推广为“相对一致收敛”的替换和概念，其中0的邻域由函数$f$满足关系$|f(t)| \leq \epsilon g(t)$组成， $g$ 在所有 $> 0$ 处都是函数，可能随邻域变化。另一方面，之前 1930 年观察到，概念诸如简单收敛、可测量的函数的度量收敛或整个函数的紧致收敛，不能通过范数来定义； 1926 年，Fréchet 指出这种性质的向量空间是可度量的且完备的。但这些更一般的空间理论只是与凸性思想相结合才得到了卓有成效的发展。后者（我们看到与Helly一起出现）是Banach和他的学生的研究对象，他们认识到以更几何的方式解释范数空间理论的众多叙述的可能性，为J. von Neumann于1935年给出的局部凸空间的一般定义铺平了道路。 空间，尤其是有关二元性的问题，在过去十年中得到了特别发展。在这方面必须指出的是，一方面，1930 年至 1940 年间进行的一般性拓扑的基本概念的设定的进步使得简单性和通用性成为可能；另一方面，概念对有界集合的重要性，由科尔莫戈洛夫和冯·诺依曼于1935年提出，其在对偶理论中的基本作用已由Mackey [213 a和b]和Grothendieck [138 b和c]的工作揭示。最后，特别是，可以肯定的是，推动研究的主要推动力来自应用数学分析的新可能性，在巴纳赫理论不起作用的领域：在这种背景下必须提到序列空间理论，它是由Köthe、Toeplitz和他们的学生自1934年以来在级数中发展起来的。 回忆录[184]，最近设定Fantappié的“解析泛函”理论，尤其是L的分布理论。 Schwartz [280]，其中局部凸空间的现代理论发现了域的应用，毫无疑问，它距离穷尽还有很长的路要走。