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22. 局部紧凑的集成空间。

现代积分概念的发展与函数概念的演变以及自十九世纪初以来对实变量数值函数的深入研究紧密相关：众所周知，欧拉已经以相当普遍的方式构想了概念或函数，因为对他来说，给定的“任意”曲线相交在单个点中，通过与轴 $Oy$ 平行定义的函数 $y = f(x)$ (cf. p. 196)；但是，像他的大多数同时代人一样，他拒绝允许这样的函数可以“分析地”表达。直到傅里叶的工作之前，这种点的观点几乎与变换完全不同。但后者发现可以将不连续的函数表示为三角函数级数、$^1$到习题的和，这对后世产生了决定性的影响。说实话，傅里叶的证明完全缺乏严谨性，其有效域也没有表现得很清楚；然而积分公式

giving the coefficients in the expansion of $\phi$ as a Fourier series, had an intuitively obvious meaning as soon as $\phi$ is assumed to be continuous and piecewise monotonic.$^2$ Also it is at first to these functions that Dirichlet limits himself, in the famous memoir ([92], v. I，第 117-132 页），他建立了傅立叶级数的收敛性；但在工作结束时，他已经开始关注自己结果中的扩张到更广泛的类函数。 这是

$^1$ 除了完全相对的意义上之外，这不是“发现”之外的情况：欧拉已经知道非周期函数（例如$x$或$x^2$）的三角函数级数中的展开，并且公式（22.1）可以在Clairvaux 1754年的著作中找到以及 1777 年的回忆录。但是，十八世纪由于对级数中的展开的含义缺乏明确的概念，忽视了这些结果，并保持了对“不连续”函数不可能获得这样的展开的信念，相反，傅立叶宣称这些结果展开是收敛的 无论给定的曲线可能是对应到 $\phi(x)$，是否可以为其分配解析方程，或者它是否不依赖于任何正则律 ([112], v.I, p. 210)。

$^2$ 对于傅里叶来说，积分仍然是诉诸面积的概念来定义；让我们记住，直到柯西 (cf. p. 197)，积分的解析定义才出现。

知道正是在这个场合，狄利克雷使傅里叶的思想变得精确，定义是函数的一般概念，就像我们今天所理解的那样；首先要澄清的点自然是要知道在什么情况下仍然可以给公式（22.1）赋予意义。 “当 $\phi$ 的连续性解在数中无限时......”狄利克雷（loc. cit.，第 131-132 页）说道，“如果用 $a$ 和 $b$ 两个任意量表示，那么函数 $\phi(x)$ 应该是这样的：在$-\pi$和$+\pi$之间，总是可以在$a$和$b$之间放置足够接近的其他量$r$和$s$，以便函数在区间$r$到$s$中保持连续。 通过考虑[傅立叶] 级数的不同项是定积分并回到积分的基本概念，可以感受到这个限制的必要性。 由此可见，除了函数满足前面所述的条件之外，函数的积分没有任何意义。”

在现代的项中，狄利克雷似乎认为可积性相当于不连续性的点组成了稀疏的集合；此外，几行之后，他又列出了点，函数著名的例等于$c$（对于$x$有理数），以及不同的值$d$对于$x$无理数，并确认这个函数“无法被替代”整的。他宣布除了关于这个主题的后续工作外，但这部作品从未出版过，$^3$，并且25年来，似乎没有人试图沿着这条道路前进，也许是因为当时对这种“病态”的考虑函数似乎完全缺乏兴趣；无论如何，当黎曼在 1854 年（[259 a]，第 227-264 页）提出这个问题（总是与三角级数$^4$有关）时，他体验到需要证明他的工作的合理性：“无论我们对无限小的力和物质状态随时间和地点变化的方式无知，我们仍然可以肯定的是，狄利克雷的研究不适用于的函数并不出现在自然现象中。然而，”他继续说道，“狄利克雷未处理的这些情况似乎值得关注，原因有两个：首先，正如狄利克雷本人在其著作的结尾处的注一样，这个主题非常接近无穷小的关系至原理。 演算，并且可以使这些原理更加清晰和确定。从这个点来看，他的研究具有直接的的兴趣。其次，傅里叶级数的应用不仅限于研究；它们目前在纯数学领域也得到了成功的应用， 数理论，看起来它们正是函数，其三角函数中的展开

$^3$ 根据 Lipschitz [205 a] 的某些指示（相当模糊），狄利克雷可能相信，如果不连续性的点的集合是稀疏的，则“导数”是有限的，并且在所有情况下都会将他的研究限制在这种情况。

$^4$ 从狄利克雷和黎曼到我们的时代，我们将看到积分与我们现在所追求的“调和数学分析”之间的密切联系，这在某种程度上提供了一块试金石。

级数尚未被狄利克雷研究过，这很重要”（[259 a]，第 237-238 页）。

黎曼的想法是从积分的近似过程开始，由柯西带回了可敬的程度，当函数$f$的“黎曼和”在有界区间$[a, b]$中趋于极限（区间中的最大值长度）时，到确定。细分趋于0); 问题，他在以下形式中毫无困难地获得解：对于每个$\alpha > 0$，将$[a, b]$细分为足够小的最大长度的部分区间，使得该细分区间的长度的和，其中振荡$f$ 是 $> \alpha$ 任意小。他还表明，这个条件是满足的，不仅对于连续且分段单调的函数，而且对于可能具有不连续性的点的处处密集集合的函数。$^5$

黎曼的回忆录直到1867年他去世之后才出版。但这一次，时代对这种研究更加有利，“黎曼积分”自然地在思想流中占据了一席之地，这些思想流导致了对实变量“连续统”和函数的持续研究（Weierstrass、Du Bois-Reymond、Hankel、迪尼），并最终与康托一起，迎来了集合理论的蓬勃发展。黎曼给出的形式可积性条件提出了在区间内函数的不连续性对点的集合进行“测度”的想法；但将近30年即将过去之前，这概念将得到富有成果且方便的定义。

The first attempts in this direction are due to Stolz, Harnack and Cantor (1884-1885); the first two, in order to define the "measure" of a bounded subset $E$ of $\mathbf{R}$, consider sets $F \supset E$ which are finite unions of intervals, take for each $F$ the sum of the lengths of the corresponding intervals, and say that the "measure" of $E$ is the lower bound of these numbers; whereas Cantor, starting from the beginning in the space $\mathbf{R}^n$, considers for a bounded set $E$ and for $\rho > 0$ the neighbourhood $V(\rho)$ of $E$ constructed of points whose distance to $E$ is $\leq \rho$, and takes the lower bound of the "volume" of $V(\rho)$.$^6$ With this definition, the "measure" of a set is equal to that of its closure, whence in particular it is possible that the "measure" of the union of two sets with no point in common can be strictly less that the sum of the "measures" of these two sets. 毫无疑问，在阶中，为了缓解最后一个困难，Peano [246 a] 和 Jordan ([174 c], v. I，第28-31页），几年后，除了块$I$中包含的集合$A$的康托尔$\mu(A)$的“测度”之外，还引入其“内部测度”$\mu(I) - \mu(I - A)$，并称之为“可测”集合 $A$（现在

$^5$ 另一方面，H. J. Smith 早在 1875 年就给出了函数的第一个例，它在黎曼意义上不可积，并且其间断点点的集合是稀疏的 ([287], v. II, pp. 86-100)。

$^6$康托尔没有给出这个“体积”的精确定义，而极限自己也给了说，它可以通过倍数积分来计算（[47]，第229-236页和257-258页）。通过应用 Borel-Lebesgue 定理，很容易看出他的定义相当于 Stolz-Harnack 的⟦-Lebesgue 定理。

称为“quarriable”），这两个数重合。 公共的中没有点的两个可论证的集合 $A, B$ 的并是可论证的，并且具有 $A$ 和 $B$ 的“度量”和作为“度量”；但开有界集合不一定是可争论的，有理数的集合也不是包含在有界区间中的，这消除了对皮亚诺-乔丹的概念的大部分兴趣。

E. Borel [32 a] 知道如何辨别前定义的错误并了解如何补救这些错误，这是值得赞扬的。自康托以来就知道，$\mathbf{R}$中的每个开集合$U$都是其“组件”可数族的并，成对的不相交的开区间； Borel 没有试图通过将有限序列的区间包围来“从外部”接近 $U$，而是根据前面的结果，建议将 $U$（当$U$ 有界时）和或长度的分量作为其分量的度量。然后，他非常概括地描述了从开集合开始，通过无限迭代可数并和“差”$A - B$的运算可以获得集合（也称为“Borel”）的$^7$类，并指出，对于这些集合，可以定义具有*完全可加性*的基本性质的测度：如果序列$(A_n)$由成对的不相交的Borel集合组成，则它们的并（假设有界）的测度等于它们的测度的和。

这个定义开创了数学分析的新纪元：一方面，与Baire的当代工作相结合，它成为点对集合或点的分类的拓扑性质的级数的研究的出发点（见p. 165）；最重要的是，它可以用作积分的基、扩张、概念，由勒贝格在二十世纪初期创建。

在他的论文 [196 a] 中，Lebesgue 首先精确并发展了 E. Borel 的简洁指示；模仿皮亚诺-乔丹的方法，有界集合$A \subset \mathbf{R}$的“外部测度”被定义为开集合包含$A$的测度中的下界；那么，如果$I$是区间包含$A$，$A$的“内部测度”就是$I$和$I - A$的外部测度之差；这样就得到了“可测量的集合”的概念，它与Borel的初始“推定”定义仅相差Borel意义上的测量零的子集的伴随或集合。这个定义立即延伸到空间$\mathbf{R}^n$；有界函数 $\geq 0$ 的定积分 $\int_a^b f(t) dt$ 的旧概念是由曲线 $y = f(x)$、直线 $x = a, x = b$ 和 $y = 0$ 界定的“区域”，因此提供了黎曼积分的直接的扩张函数 $f$，为其定义了前面的集合的度量。但原创性

当时，对于 Borel 来说，$^7$ 测量仍然不是研究理性函数的某些级数的技术手段，他强调自己，对于他为自己提出的目标，测量的有用性首先是由于非零测量的集合不可数（[32 a]， p. 48）。

勒贝格并不更多地停留在这个扩张，$^8$的想法上，而是在于他发现了在由此构想的积分中通向极限的基本定理，定理在他的著作中出现为测度的完全可加性的推论；$^9$他立即意识到了它的所有重要性，并将其作为早在 1904 年，他就在著名的“关于整合和探索原始函数的课程”[196 c]中给出了他的理论的说教性阐述的基石。$^{10}$

我们在这里不能详细描述了勒贝格的结果在无穷小演算的经典问题的研究中带来的无数进步。勒贝格本人已经在他的论文中将他的理论应用于经典概念或长度的扩张，并将面积应用于比通常的曲线和曲面更一般的集合；关于这一理论在半个世纪以来的长足发展，我们让读者回到L最近的揭露。切萨里[59]。让我们也提一下三角函数级数的应用，勒贝格几乎立即在他的论文[196 b]中开发了之后，这些应用为这一理论开辟了新的视野，其探索在我们这个时代还远未结束（参见[345]）。最后，特别是，空间$L^p$的定义和Fischer-Riesz定理（[111]，[260 a和c]；cf.p. 213）揭示了积分的新概念可以在泛函数学分析中发挥的作用；这个角色只能随着这个概念的后续推广而发展，我们稍后会谈到它。

在此之前，我们将停留在勒贝格投入最多精力的问题之一上，即积分概念与本原概念之间的联系。随着黎曼对积分的推广，自然出现的问题是要知道积分和本原之间的经典对应对于连续函数是否有效，在更一般的情况下是否仍然存在。但很容易给出函数 $f$ 的例，在黎曼意义下可积，并且$\int_a^x f(t)dt$ 在某个点没有导数（甚至没有右侧或左侧的导数）；

$^8$ 独立于 Lebesgue，W. H. Young 对半连续函数 [339 a] 有相同的想法。

$^9$ 这个定理的特殊情况，其中函数的序列在黎曼意义上的紧致区间上可积，一致有界，并且其极限在黎曼意义上可积，已由Arzelà证明[9a]。

$^{10}$ 在积分一般理论中定理中最重要的推论中，必须特别提及的是Egoroff关于可测函数[99]的序列收敛性的定理，它精确了Borel和Lebesgue早期的注。另一方面，可测（数值）函数首先由勒贝格通过性质定义，对于这样的函数$f$，$\mathbf{R}$的每个区间的像与$f$的倒数是可测的集合。但从 1903 年开始，Borel 和 Lebesgue 引起了人们对这些函数拓扑性质的关注；它们被维塔利 (Vitali) 定义为最终的形式，维塔利 (Vitali) 在 1905 年 [320 a] 第一个制定了可测量的函数的性质，通常以“Lusin 的定理”的名义（他于 1912 年再次发现了它）。

相反，Volterra 在 1881 年证明，函数 $F(x)$ 可能在区间 $I$ 内具有有界导数，但在 $I$ 内不可积（在黎曼意义上）。通过非常微妙的数学分析（其中在积分中到极限的定理远远不够），勒贝格成功地证明，如果$f$在$[a, b]$中可积（在他的意义上），则$F(x) = \int_a^x f(t)dt$几乎处处都有等于$f(x)$[196 c]的导数。相反，如果函数 $g$ 在 $[a, b]$ 中可微，且其导数 $g' = f$ 是*有界*，则 $f$ 是可积的，并且我们有公式 $g(x) - g(a) = \int_a^x f(t)dt$。但勒贝格注认为，当$g'$无界时，问题要复杂得多；在这种情况下，$g'$不一定是可积的，因此第一个问题是为了表征连续的函数$g$，其中$g'$几乎无处不在并且是可积的。通过将自己限制在 $g$ 的派生数$^{11}$ 之一处处*有限*的情况，勒贝格表明 $g$ 必然是函数 具有有限变化。$^{12}$ 最后，他建立了最后一个结果的逆命题：具有有限变化的函数 $g$ 几乎处处都有导数，且 $g'$ 可积；但这不再一定是真的

这个关系的两个部分之间的差异是有界变化的函数，它不是恒定的，并且几乎到处都有零导数（“单数”函数）。它仍然用有界变化$g$来表征函数，使得关系（22.2）成立。勒贝格确定，这些函数（维塔利对它们进行了详细研究，称之为“绝对连续”）是那些具有以下性质的元素：开集合$U$中$g$的总变分（和在每个连通分量中$g$的总变分） $U$)随着$U$的测量趋于0。

我们将在下面看到，在弱化的形式中，这些结果后来如何获得更广泛的范围。在他们最初的形式中，他们的域的应用仍然相当有限，并没有超出实变量函数的“精细”理论的框架，我们在此不研究其后续发展；我们将满足于提及 Denjoy 及其追随者和继承者（Perron、de la Vallée-Poussin、Khinchine、Lusin、Banach 等）的深入工作；读者可以在 S. Saks 的书中找到详细的阐述 [268]。

$^{11}$在点$x$处$g$右边导出的数是两个极限$\lim_{h \to 0} \sup_{h > 0} (g(x + h) - g(x))/h, \lim_{h \to 0} \inf_{h > 0} (g(x + h) - g(x))/h$。左侧导出的数的定义类似。

$^{12}$ 这些函数是由Jordan引入的，与曲线校正有关[174 c]；他证明了可以给出两个等价的定义，如下所示： a) $f$ 是两个递增函数之间的差； b) 对于递增点 $(x_i)_{0 \leq i \leq n}$ 区间$[a, b]$ 有限序列的每个细分，其中$a = x_0, b = x_n$、和 $\sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})|$ 受数限制，与所考虑的细分无关。 其中和中的上界是$[a, b]$中$f$的*总变体*。

勒贝格理论带来的重要进步之一涉及倍数积分。这个概念大约在十八世纪中叶被引入，首先是在“不定积分”的形式中引入（与单变量函数的积分理论类比，$\int \int f(x, y) dx dy$表示方程$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f(x, y)$的解）；但从 1770 年开始，欧拉就有了一个非常清晰的双积分概念，扩展到有界域（以解析曲线的弧为界），并正确地写下了公式，通过连续的两个简单积分来评估这样的积分（[108a]，（1），v.XVII，第289-315页）。从“黎曼和”开始证明公式的合理性并不困难，只要函数被积分是连续的，并且积分的域不太复杂；但一旦想要处理更一般的情况，黎曼的过程就遇到了严重的困难（$f(x, y)$可能在黎曼意义上可积，而当在黎曼意义上取简单积分时，$\int dx \int f(x, y) dy$没有意义）。当我们转到勒贝格的定义时，这些困难就消失了；后者已经在他的论文中表明，当$f(x, y)$是有界“Baire 函数”时，对于函数$y \mapsto f(x, y)$（对于所有$x$）和$x \mapsto \int f(x, y) dy$来说是相同的，我们有公式

（在矩形内积分）。稍后，Fubini [121]通过证明对此结果进行了重要补充，即如果仅假设$f$可积，则$x$的集合使得$y \mapsto f(x, y)$不可积，具有零测度，这允许公式的扩张 （22.3）对于这种情况。

最后，在 1910 年 [157 e]，Lebesgue 在简单积分的导数上解决了他的结果的扩张到倍数积分。因此，他与函数 $f$ 相关联，可在 $\mathbf{R}^n$ 的所有紧致子集上可积，集合* $F(E) = \int_E f(x) dx$ 的 *函数，为 $\mathbf{R}^n$ 的所有可积子集 $E$ 定义，它概括了“不定积分”的概念；他在这个场合观察到这个函数具有以下两个性质： $1^\circ$它是完全相加的； $2^\circ$ 是“绝对连续”，因为 $F(E)$ 以 $E$ 的度量趋于 0。勒贝格的回忆录的本质部分在于这个命题的证明逆命题。$^{13}$ 但他并没有就此止步，并且在同一个方向上，通过考虑，在有界变化的情况下，表明了推广函数的概念的可能性可测量的集合 $F(E)$ 的函数，完全相加，并且对于 $E$ 的每个可数划分，$\sum_n |F(E_n)|$ 仍然有界于可测量的子集 $E_n$。而且，如果他自己极限事实上不考虑这样的函数，除了$\mathbf{R}^n$的块的集合，那么很明显，只剩下一步需要采取以最终得到J.Radon正在采取的一般概念措施

$^{13}$ 在这个证明中，主要工具是一个覆盖定理，由维塔利[320 b] 证明了之前，并且在这个型问题中仍然是基本的。

到 1913 年的定义，将 Lebesgue 积分和 Stieltjes 积分收集到同一个综合中，我们现在必须谈论它们。

1894 年，T. Stieltjes 发表了题为“研究 on Continuous 分数”[297] 的一篇非常原创的回忆录，其中从一个外观上非常有限的问题开始，以一种罕见的优雅方式发现和解决了问题，在分析函数理论中具有相当新的性质，并且实变量的函数。$^{14}$ 在阶中表示解析函数的某个序列的极限，斯蒂尔杰斯等人在直线上引入了正“质量分布”的概念，这是物理学中很长一段时间以来熟悉的概念科学，但直到那时，除了在限制性假设下之外，数学从未考虑过这些问题（一般来说，每个点存在一个“密度”，以连续的方式变化）； 注给出这样的分布相当于递增函数$\phi(x)$的分布，它给出了$x > 0$以0和$x$结尾的区间中包含的总质量，并且该质量对于$x < 0$改变了符号，$\phi$相应的的不连续性为质量“集中在点”。$^{15}$ Stieltjes 然后形式，对于区间 $[a, b]$ 内的这种质量分布，“黎曼和”$\sum_i f(\xi_i)(\phi(x_{i+1}) - \phi(x_i))$ 并表明，当 $f$ 在 $[a, b]$ 连续时，这些和倾向于极限，他表示$\int_a^b f(x)d\phi(x)$。只需要对连续函数（甚至可微的函数）进行积分即可。Stieltjes 并没有进一步推进这个积分$^{16}$的研究，并且在大约十年的时间里，这个概念似乎没有引起人们的注意。$^{17}$，但在 1909 年，F. Riesz [260 d]，求解了问题几年前由 Hadamard (cf. p. 213) 提出，证明 Stieltjes 整的 $f \mapsto \int_a^b fd\phi$ 是空间 $C(I)$ 上数值函数连续于 $I = [a, b]$ 上最一般的连续线性泛函（$C(I)$ 具有一致收敛性） 拓扑$^{18}$);这个结果的优雅和简单几乎立即引起了一些概括

$^{14}$ 正是在那里制定并解决了著名的“时刻的问题”（cf.p. 215）。 $^{15}$ Stieltjes 仍然没有对具有相同端点 $a, b$ 的区间的各种型进行任何区分，这使他设想在 $\phi$ 的不连续性 $c$ 的点处，质量的部分集中在 $c$ 属于到起点$c$的区间，另一个部分到终点$c$的区间，根据$\phi(c)$的值。 然而，$^{16}$ 在此必须注意，与 Stieltjes 一起，序列测度的“收敛”思想（[297]，p. 95；事实上，这是强极限的一个例子）。 然而，从 1906 年开始，随着希尔伯特和他的算子谱理论学校的发展，$^{17}$ 它变得越来越重要。正是在这个场合，Hellinger 在 1907 年左右定义了积分，例如他表示的$\int \frac{(dg)^2}{df}$，这些积分起初看起来比 Stieltjes 的积分更普遍；但事实上，哈恩早在 1912 年就表明，他们约化属于后者。 $^{18}$ 也是在本作品中，概念出现了措施序列的弱极限（[260 d]、p. 49）。

它。最成功的是 J. Radon，在 1913 年 [256]：结合了 F. Riesz 和 Lebesgue 的思想，他展示了如何通过 Lebesgue 过程定义积分，从任意“完全集合的加性函数”（定义为 Lebesgue 测度的可测量集合）开始，而不是从 Lebesgue 开始测量。在 $\mathbf{R}^n$ 上的“氡气测量”的概念中，如此定义，具有“有界变化”的函数被发现被吸收： 函数的分解作为两个差值递增函数是作为两个差值的测量的分解的特殊情况积极措施；同样，将“绝对连续”函数的“基$\mu$测度”对应至概念，以及任意测度的分解分解为基$\mu$的测度和$\mu$的异质测度，勒贝格分解的函数的有限变化为绝对连续函数的和和“奇异”函数。此外，Radon 通过使用 F. Riesz 先前的想法（再次被 J. von Neumann 等人再次采用并后来推广）证明，当 $\mu$ 是具有基勒贝格测度的测度时，具有基 $\mu$ 的测度相对于 $\mu$ 的“密度”仍然存在，其中包括将$\mu$测度的像通过$\mathbf{R}^n$的映射$\theta$构造成$\mathbf{R}$，选择使得$\theta(\mu)$是$\mathbf{R}$上的勒贝格测度。

几乎就在之后氡气回忆录出现的同时，Fréchet评论说，这项工作的几乎所有结果都可以扩展到“完全集合的加性函数”的情况，而不是定义在$\mathbf{R}^n$的可测量集合上，而是定义为任意任意的子集集合 $E$（这些子集使得可数并和“差”的运算仍然给出定义了函数的集合）。然而，在形式 $g.\mu$ 中，基 $\mu$ 的测度表达式依赖于 Lebesgue 和 Radon，以基本方式使用 $\mathbf{R}^n$ 的拓扑的参数（并且我们已经看到，Radon 的证明仅适用于 $\mu$ 的测度基勒贝格测度）；直到 1930 年，O. Nikodym [235] 通过直接论证才在一般的形式中获得了这个定理（几年后，由于使用了空间 $L^2$ 的性质，J. von Neumann 进行了显着简化（[324 g]，第 127-130 页））。

有了氡的回忆录，积分的一般理论就可以认为主线已经完成了；作为随后的实质性收购，只能提及由 Daniell [76 b] 提出的无限乘积测度的定义，以及 Bochner 于 1933 年给出的 Banach 空间中函数与值的积分 [24 a]，这是对“弱积分”进行更一般研究的前奏几年后由 Gelfand [125 a]、Dunford 和 Pettis（[95] 和 [96]）提出。但它仍然是为了普及新理论，并使其成为一种普遍使用的数学工具，而在 1910 年左右，大多数数学家仍然认为“勒贝格积分”只是一种非常精确、处理微妙的工具，注定只能用于极其微妙和极端抽象的研究。这是卡拉西奥多里 (Carathéodory) 的著作，该书在很长一段时间内一直是经典[49]，并通过众多原创的注丰富了拉东的理论。

但也正是在这本书中，积分的概念，一直处于勒贝格关注的前沿（正如他的论文标题[196a]和他关于这些问题的主要工作[196c]的标题所充分表明的那样）首次产生了域，而测度对于勒贝格（正如之前他与乔丹一样）来说是一种辅助技术手段。 点观点中的变换毫无疑问是由于卡拉西奥多里似乎过于重视“p维测量”而造成的。$^{19}$从那时起，处理整合的作者就在这两种点观点之间产生了分歧，他们不无卷入争论，这些争论即使不是流血，也是流了很多墨水。一架群跟随卡拉西奥多里；在他们的论述中，测度变得更加抽象和公理化，不仅发挥了主导作用，而且还倾向于与拓扑结构失去联系，事实上，在它所涉及的问题的大部分中，它都与拓扑结构相关。其他揭露或多或少地遵循 W. H. Young 于 1911 年在回忆录中指出的方法，不幸的是很少有人注意到[339 b]，并由 Daniell 自此开发。第一个，处理勒贝格积分，与具有紧支撑的连续函数的“柯西积分”分开，假定已知，在阶到定义中依次是下半连续函数的上积分，然后是任意数值函数、从而定义可积函数，以 Lebesgue 的集合为蓝本，通过纯粹的“功能”方式。 Daniell，在 1918 年（[76 a]；cf. [207]）将这个暴露（带有一些变体）扩展到任意集合上定义的函数；在同样的思想流中（并且与谱理论之前 Gelfand中使用的方法密切相关），我们还必须从F. Riesz [260 h]的回忆录中提取出点，它将在积分理论中发挥作用的有序空间理论的少数结果放入优雅而简洁的形式中。

与其在解释性著作中读起来或多或少令人愉快，但其实质内容不会有太大变化，而是在应用方面必须寻求自 1920 年以来积分理论所产生的进步：概率论（有时是猜测和悖论的借口，自它诞生以来就成为积分理论的一个分支）

$^{19}$ 这是一种将“平面曲线的长度”推广到环境空间的维数和空间的维数的任意值 n和p的情况；当然假设我们有$0 \leq p \leq n$，但并不总是假设p是整数。自明可夫斯基、卡拉西奥多里和豪斯多夫以来，这个问题一直是许多作者研究的对象。勒贝格本人在他的论文中解决了一些特殊的情况，除了对他刚刚打造的工具进行测试幂的机会之外，他似乎没有看到其他的情况。

Kolmogoroff 的公理化[183]​​，但是一个自治分支，有自己的方法和问题）；遍历理论；自从哈尔发现以他的名字命名的测度以来，谱理论和调和数学分析，以及这一发现引发的思想运动，已经使群理论中最重要的工具之一成为不可或缺的工具。