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23. 哈尔措施。卷积。

长度的概念，希腊人的面积和体积本质上是基于它们在位移下的不变性：“重合（$\varepsilon \phi \alpha \rho \mu o \xi o \nu \tau \alpha$）相等的事物”（Eucl. El.，书I，“公共的概念”4）；正是通过巧妙地使用这个原理，所有公式都可以通过给出经典“图形”（多边形，圆锥曲线，多面体，球体等）的面积或体积来获得，有时通过有限过程分解，有时通过“穷举”获得。$^1$在现代语言中，它可以说，希腊几何学家所做的就是证明“集合的函数”的存在性，它在位移下是可加的且不变的，但仅针对非常特殊的型的集合进行定义。积分演算可以被认为是对扩大集合的函数的定义域的需要的回应，并且，从Cavalieri到H. Lebesgue，正是这种关注将成为研究分析家的首要关注点；至于位移不变性的性质，它成为次要考虑因素，成为双或三重积分中变量的变换的一般公式的微不足道的推论，并且因为正交变换的行列式等于$\pm 1$。即使在非欧几里得几何中（然而位移的群不同），视图的点保持不变：一般来说，黎曼定义面积或体积的无穷小元素（或维数$\geq 3$的类似物）以$ds^2$开始经典欧氏公式的均值，以及它们在使$ds^2$保持不变的变换下的不变性因此几乎是同义反复。

直到 1890 年左右，随着积分不变量理论的发展，尤其是 H. Poincaré 和 E. Cartan 的发展，群下的测度不变量概念的直接的扩张才出现；

$^1$ 可以证明，如果两个多边形$P, P'$具有相同的面积，则存在两个多边形$R \supset P, R' \supset P'$，每个多边形都可以分解为有限的数多边形$R_i$（或$R'_i$）（$1 \leq i \leq m$），且没有任何内部点公共的，使得$R_i$和$R'_i$可以通过位移（取决于$i$）从另一个获得，并且$R$（分别$R'$）是有限多边形族$S_j$（分别$S'_j$）的并 （$0 \leq j \leq n$）公共的中没有任何内部点，其中$S_0 = P, S'_0 = P'$和$S'_j$是从$S_j$通过位移$1 \leq j \leq n$获得的。另一方面，M. Dehn 证明了[81]，这个性质对于多面体的体积是无效的，并且自Eudoxus以来使用的穷举程序在推论中是不可避免的。

H. 庞加莱仅预见到群，其中一个参数作用于空间的部分，而E. Cartan 主要对位移的群感兴趣，但在定义它们的空间之外的其他空间中进行操作。 对于例，他确定因此除其他外（[52 a]，v. II₁，第 265-302 页）不变量（在位移群下）在 $\mathbf{R}^2$ 或$\mathbf{R}^3$ 中的直线空间中测量；$^2$ 此外，点指出，一般来说，李群的积分不变量不是别的，而是特殊微分不变量，因此可以通过 Lie 的方法来确定所有这些。 然而，似乎没有人考虑或使用对群本身之前 A 的基本工作不变的测度。 赫尔维茨于 1897 年[168]。 寻求构造多项式（在$\mathbf{R}^n$上）在正交群下不变，Hurwitz从注开始，对于线性变换的有限群，通过取任意多项式的变换$s.P$的*平均值*立即求解问题群中所有元素 $s$ $P$；这给了他替换的概念，对于正交群，是相对于不变测度的积分的平均值；他通过欧拉角的参数表示明确给出了后者的表达式，但立即观察到（独立于E. Cartan）认为 Lie 的方法为所有李群提供了不变测度的存在性。 也许是由于不变量理论在二十世纪初的衰落，赫尔维茨的思想几乎没有任何直接的反应，直到1924年之后才被认为有价值，从扩张到紧李群，到I。 舒尔和 H. Weyl，Frobenius (p. 121) 的经典理论线性表示有限群。 第一个极限本身就是正交群的情况，并展示了 Hurwitz 的方法如何允许特征标正交性的经典关系的扩张；一个想法是H. Weyl 结合了 E 的工作。 对半单李代数进行嘉当，得到紧李群的不可约表示特征标的显式表达式和定理的完全约简性[331 b]，然后，通过“正则表示”的概念的粗体扩张，得到著名的定理 Peter-Weyl，将正则表示的分解完美类比为有限群理论中的不可约成分[332]。

一年前，O. Schreier 创立了拓扑群 [276 a] 的一般理论，从那一刻起，很明显，Peter-Weyl 的回忆录的论点对于每个可以定义“不变测度”的拓扑群仍然有效。说实话，拓扑和测度的一般概念此时仍处于完全形成状态，无论是希望在其上实现定义不变测度的拓扑群范畴，还是定义此“测度”的集合，似乎都没有明确界定。唯一明显的点是那个

$^2$ 平面直线空间上的不变测度已经基本上与“几何概率”的问题相关联地确定，特别是由克罗夫顿确定，而当时嘉当可能并不知道他的著作。

不能希望扩展对于一般情况无穷小方法证明存在李群不变测度。但是，从勒贝格测度工作中产生的另一个思想流，恰恰导致了更直接的方法攻击。 Hausdorff 于 1914 年证明，在集合上不存在加性函数，且零对于$\mathbf{R}^3$的所有子集定义不完全相同，并且在位移下保持不变，并且很自然地要找出这个结果对于$\mathbf{R}$和$\mathbf{R}^2$是否仍然有效： 问题 1923 年，S. Banach 以令人惊讶的方式解决了这个问题，相反地表明，在这两种情况下，这种“措施”确实存在 [14 b]；他的程序非常巧妙，已经依赖于构造到超限归纳以及对函数到元素翻译群的“手段”$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x + \alpha_k)$的考虑。$^3$正是类似的想法让A. Haar在1933年[139]迈出了决定性的一步通过证明局部紧致群的不变测度的存在，以及开集合的可数基：受方法的启发，在经典积分演算中，通过将具有任意小边的全等立方体并置，他得到对角线程序，“近似度量”的极限或序列的不变度量，这一程序本质上仍然是今天使用的程序。这一发现产生了非常大的影响，特别是因为它使 J. von Neumann 能够立即解决紧致群，希尔伯特著名的“第五问题”，通过纯拓扑性质来表征李群（排除所有先前给出的微分结构）。但人们立即注意到，在阶中，为了能够有效地使用不变测度，仅仅知道它的存在是不够的，还要知道它在因子之前是唯一的；这个点首先由J. von Neumann证明紧凑群，通过连续函数的“手段”使用方法代替哈尔测度的定义，类似于Banach [324 e]；然后J. von Neumann [324 f]和A. Weil [330 c]，通过不同的方法，在局部紧致群的情况下同时获得唯一性，A. Weil同时指出了Haar过程如何扩展到一般局部紧致群。 A. Weil (loc. cit.) 也因同质空间上存在相对不变的测度而获得了条件，并最终证明了分离拓扑群上存在“测度”（具有合理的属性），暗示 ipso facto 群是局部预紧的。这些工作基本上完成了哈尔测度的一般理论；唯一需要引用的最近的加法是准不变测度的概念，它直到1950年左右才出现，与希尔伯特空间的局部紧致群的表示理论相关。

$^3$ J. von Neumann 在 1929 年表明，一方面 $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{R}^2$ 之间行为差异的深层原因，另一方面 $n \geq 3$ 的 $\mathbf{R}^n$，必须在空间旋转的交换律和群中寻找$\mathbf{R}^2$。

卷积乘积的历史更为复杂。早在十九世纪初，人们就注意到，如果对于例，$F(x, t)$ 是$x$ 和 $t$ 中偏微分方程的积分，线性且具有常数系数，则

也是同一方程的积分；泊松等人早在之前 1820 年就使用这个想法在形式中写出了热方程的积分

过了一会儿，表情

对于傅里叶级数的部分和以及狄利克雷所做的研究，当$n$趋于$+\infty$时，该积分的极限，给出了环面$T$上“正则化”$f \mapsto \rho_n * f$的第一个例（实际上由非正“核”$\rho_n$的序列，这使其研究变得相当复杂）；在“奇异积分”的名义下，类似的积分表达式将成为十九世纪末二十世纪初的分析家们最喜欢的课题，从 P. du Bois-Reymond 到 H. Lebesgue。在 $\mathbf{R}$ 上，Weierstrass 使用多项式近似对定理的证明进行积分 (23.1)，并在这方面给出了形式的正“核”$\rho_n$ 的序列正则化的一般原理 $x \mapsto c_n \rho(nx)$。在$T$，最著名的正核正则化例稍后由Fejér给出，从那一刻起，它将成为函数的级数的大多数“总和方法”的基的标准程序。

然而，这项工作由于“核”和正则化函数所扮演的角色缺乏对称性，很难使卷积乘积的代数性质变得明显。 点的强调尤其要归功于 Volterra。他以一般的方式研究两个变量的两个函数的“合成”$F * G$

他认为这是“从有限到无限的经过”对两个矩阵的乘积的概括[322 a]。他很早就区分了这种情况（“闭环”，因其在遗传理论中的解释而被称为“闭环”），其中$F$和$G$仅取决于$y - x$；那么它与 $H = F * G$ 相同，如果我们集合 $F(x, y) = f(y - x), G(x, y) = g(y - x)$，我们有

同时，Volterra发展的代数形式主义并没有指出$\mathbf{R}$和傅里叶变换与群结构的联系。我们不需要在这里写后者的历史；但对于注来说，从柯西开始，处理傅立叶积分的分析家主要关心的是寻找越来越宽的条件来证明“反演”的不同公式的有效性，而在某种程度上忽略了它的代数性质。当然不可能说那么多傅里叶本人的工作（或者拉普拉斯关于类似积分$\int_0^{+\infty} e^{-st}f(t)dt$的工作）；但这些变换本质上是与线性问题相关的，因此，很长一段时间以来，人们认为不值得考虑两个傅里叶变换的乘积（三角函数级数或整个级数的乘积除外），这并不奇怪，但与离散测量的卷积的联系显然不会被注意到在十九世纪）。第一次提到这个乘积和$\mathbf{R}$上的卷积可能可以在Tchebychef [306]的回忆录中找到，与概率计算的问题有关。事实上，在这个理论中，两个“概率律”在$\mathbf{R}$（总质量1的正测量）上的卷积$\mu * \nu$正是$\mu$和$\nu$的“乘积”概率律（对于和相应的“随机变量”）。当然，对于 Tchebychef，它仍然只是概率律与密度（相对于勒贝格测度）的卷积问题，因此是函数的卷积问题；此外，它只以片段的方式发生在他身上，因此，它将在少数罕见的作品中出现之前1920-1930年期间。 1920 年，P.-J. Daniell，在注中很少参考[76 c]，定义是这样一个测度的$\mathbf{R}$和傅里叶变换上的两个任意测度的卷积，并明确观察到傅里叶变换将卷积变为普通的乘积；从 1925 年开始，概率论者将广泛使用这种形式主义，尤其是在 P. Lévy 之后。但卷积在群理论中的根本重要性直到1927年才被H. Weyl充分认识到；他意识到，对于紧凑的群，函数的卷积在有限群的群代数中扮演了乘法的角色，并允许他作为推论到定义的“正则表示”；同时，他在正则化中发现了单位元等于代数或有限群。仍然需要对所有这些点观点进行综合，这是在A. Weil [330 c]的书中完成的，这是后续概括的前奏，一方面将构成I的标准化代数。 Gelfand，另一方面是分布的卷积。

Haar 测度和卷积已迅速成为代数化趋势中的重要工具，代数化趋势如此强烈地现代数学分析；在接下来的注中我们将不得不提及它的众多应用。我们在这里将极限指出，它涉及局部紧致群的封闭子群（尤其是离散的子群）的“变体”。这一理论始于 K. Mahler 在《几何》数中的结果，并于 1950 年由C 创立。 Chabauty，并且刚刚被 Macbeath 和 Swierczkowski [212] 大大发展和深化。