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24. 非局部紧集成空间。

如果对拓扑和测度论之间联系的研究可以追溯到现代实变量函数理论的开端，那么直到最近，离散拓扑空间的积分才在一般意义上上升到集合。 之前给出了实际综合之前的工作历史，我们将回顾关于关系的想法在拓扑和测量之间演变的一些步骤。

对于勒贝格来说，这只是一个对一个或多个实变量积分函数的问题。 1913年，Radon定义了$\mathbf{R}^n$和相应的积分的一般测度；这一理论在 Ch. 的著作 [82] 中有详细阐述。 de la Vallée Poussin 并始终依赖于欧氏空间的拓扑性质。稍后，在 1915 年，Fréchet 定义在 [115 c] 中对集合的“抽象”测度提供了 $\sigma$ 代数以及关于这些测度的积分；他注认为，无需使用任何拓扑手段就可以建立勒贝格理论的主要结果。他用下面的字证明了他的承诺，摘自[115 d]，第一个部分的介绍：“对于空间中的例，具有无穷多个坐标，其中数学分析的各种应用导致了收敛序列的各种非等价定义，其中一个这些定义被另一个取代，家庭财产不会发生任何变化，而这些空间中的集合的加性函数”。 Fréchet的研究由Carathéodory完成，他将集合的函数的扩张中重要的定理纳入小节。 Saks [268]一书的开头提供了对这种点观点的浓缩阐述。

局部紧致群上哈尔测度的发现（第 231 页）以及它立即收到的众多应用，以及 Weil 和 Gelfand 在调和数学分析中的工作，导致 1940 年对点观点进行了深刻修改：在这种问题中，最方便的做法是考虑空间上的线性形式测度连续函数。这方法迫使限制压缩或局部压缩空间，但这对于几乎所有应用程序来说并不是一个障碍；更好的是，J. Tate 和 A. Weil 在 $p$-adic 群和 adèle 群上引入谐波数学分析，使得分析数理论得到了惊人的更新。

正是从另一个方向，有必要通过考虑拓扑空间上非局部紧致的测度来扩大点的视野：渐渐地，概率论导致了对此类空间的研究，并提供了许多非平凡的例。也许这些发展对测度论产生后期影响的原因必须在概率论的相对孤立中寻找，直到最近，概率论仍然处于传统数学学科的边缘。

序列空间的措施。

经典概率论最发达的分支之一是极限定理（大数的律，趋向高斯-拉普拉斯律，...）；这是统计规律性加深概念的一个例子，表现为大量人口发挥作用的现象。这些问题的正确数学表述需要对序列的空间引入措施；这些空间构成了空间对有限维最明显的概括，是Fréchet、Lévy、Lusin等在1920年左右进行的“一般数学分析”中研究最喜欢的主题。无论如何，Khinchine和Kolmogoroff，概率论中新方法的创造者都是Lusin的弟子，而Lévy很快就转向了概率论问题：这些构成了新方法的试金石。

序列空间测度的第一次隐式出现出现在 E. Borel 于 1909 年致力于可数概率的著作中 [32 b]。 Borel 的一个非常原创的想法包括将他刚刚获得的概率结果应用于 0 和 1 之间包含的几乎每个实数的小数展开所拥有的属性的证明。该应用基于以下基本注：让我们将 0 到 1 之间包含的每个实数定义通过给定基 $q$ ($q \geq 2$) 中展开中的序列位数；如果连续随机地从数$x$中取出不同的数字，并且与其他数字无关，并且对于$0, 1, \ldots, q-1$具有相等的概率$1/q$，则在$[0, 1[$的区间中找到$x$的概率等于该区间的长度。

1923年，Steinhaus[293]严格地建立了这些结果，并描述了Borel所考虑的那种选择无界序列的精确数学模型：让我们以$q = 2$来简化问题，用两个元素$\{0, 1\}$表示为$I$集合；我们为$I$提供由$\mu(0) = \mu(1) = \frac{1}{2}$定义的测度$\mu$； 乘积空间 $I^{\mathbf{N}}$ 的元素数的序列 $\varepsilon = (\varepsilon(n))_{n \in \mathbf{N}}$ 等于 0 或 1，映射 $\phi : \varepsilon \mapsto \sum_{n \geq 0} \varepsilon(n).2^{-n-1}$ 最多可数集合、双射 $I^{\mathbf{N}}$ 在区间$[0, 1]$；更重要的是，$\phi^{-1}$变换将$[0, 1]$的勒贝格测度合并到$I^{\mathbf{N}}$乘积的测度$P$，以及每个因子的测度$\mu$。事实上，斯坦豪斯没有可供他使用的构造和乘积措施；

他利用准双射$\phi$到构造的存在性，从$[0, 1]$上的勒贝格测度开始，在$I^{\mathbf{N}}$上测度$P$，然后给出了$P$的公理化表征。由此获得的同构允许将概率语言转换为测度语言，并应用关于勒贝格积分的已知定理。

在同一项工作中，斯坦豪斯考虑了随机级数$\sum_{n \geq 0} \sigma_n \cdot a_n$，其中符号$\sigma_n = \pm 1$是独立于其他符号随机选择的，并且具有相同的概率$\frac{1}{2}$； 1928 年至 1935 年间，他研究了许多其他随机的级数。 Paley、Wiener 和 Zygmund 则考虑随机傅里叶级数$^1$ 或形式 $\sum_{-\infty}^{\infty} a_n \exp(2\pi i(nt + \Phi_n))$； “振幅”$a_n$是固定的，“相位”$\Phi_n$是均匀分布在$[0, 1]$上的独立随机变量。如果分析难度从问题到问题变化很大，则测度论项的翻译在所有情况下都是相同的，代表Borel和Steinhaus处理的情况的扩张；这是一个在$\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$、乘积上构造一个测度的问题，这一系列测度都与$\mathbf{R}$上质量1的一个特定正测度$\mu$相同；对于例，前面的随机傅里叶级数对应对于$\mu$是$[0, 1]$上的勒贝格测度的情况。

对于构造这样的乘积措施，可以使用两个方法。第一个是直接方法、集合，由 Daniell [76 b] 于 1918 年首次实现； Jessen [173] 于 1934 年再次发现，他将详细研究$\mu$是$[0, 1]$上的勒贝格测度的情况。第二个方法是寻找与 Steinhaus 在阶到约化中的勒贝格测度类似的技巧。 $[0, 1]$；只要我们没有对一般测度理论的完整说明，这种处理方式就具有方便的优点，因为它允许使用勒贝格定理.$^2$而无需新的证明

布朗运动理论。

该理论在当代科学发展中占有特殊的地位，因为它见证了物理问题和“纯”数学之间不断且富有成效的交流。布朗运动的研究由植物学家布朗于 1829 年发现，在 19 世纪得到众多物理学家的深入研究$^3$，但第一个令人满意的数学模型直到 1905 年才由爱因斯坦发明。

$^1$ 对于随机傅立叶级数的解释，请参阅[176]。

$^2$ 维纳也在很多场合（例[243]的cf.，第IX章）小心地证明布朗运动的测度与$[0, 1]$上的勒贝格测度是同构的。这种技巧的可能性在冯·诺依曼的一般定理中找到了解释，他给出了与$[0, 1]$上的勒贝格测度同构的测度公理化表征。

$^3$ 关于这段历史的非常生动的描述可以在[229]中找到。

爱因斯坦的假设是这样表述的：如果$x(t)$是粒子在时间$t$的横坐标，并且如果$t_0 < t_1 < \ldots < t_{n-1} < t_n$，则连续位移$x(t_i) - x(t_{i-1})$（对于$1 \leq i \leq n$）是独立的高斯随机变量。这里不适合在这里详细回顾 J. Perrin 的重要实验工作，它激发了爱因斯坦的理论：为了我们的目的，只记住 Perrin 的注就足够了，根据该实验，对布朗运动轨迹的观察不可抗拒地向他暗示了“没有数学家导数的函数”。这个注是维纳最初的火花。

相当另一个的思想流起源于玻尔兹曼和吉布斯在 1870 年至 1900 年间发展的气体动力学理论。让我们考虑在（绝对）温度$T$下由质量为$m$的$N$分子组成的气体，并用$\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_N$表示气体中$N$分子的速度； 系统的动能等于

其中 $k$ 是玻尔兹曼常数。根据吉布斯的思想，分子之间的大量碰撞不允许精确确定分子的速度，可以方便地在空间的球体$S$上引入概率律$P$，其中$3N$维数由方程（24.1）定义。 “微正则”假设在于假设 $P$ 是球体 $S$ 旋转下质量 1 不变量的度量。此外，麦克斯韦速度律指出，分子速度分量的概率律具有高斯方差度量$2kT/m$。 E. Borel 似乎是 1914 年第一个提出注的人，他认为当分子数非常大时，麦克斯韦的律是吉布斯假设和球体性质的推论。他认为维数的欧氏空间中的球体$S$和质量1的测量$P$在$S$上旋转下保持不变；使用基于斯特林公式的经典近似方法，他证明了坐标轴上$P$的投影近似为高斯分布。 Gâteaux 和 Lévy [201 a] 稍后对这些结果进行了精确化。给定整数$m \geq 1$和数$r > 0$，让我们用$x_1^2 + \ldots + x_m^2 = r^2$表示形式$(x_1, \ldots, x_m, 0, 0, \ldots)$序列$S_{m,r}$集合；让我们也用 $\sigma_{m,r}$ 来表示在 $S_{m,r}$ 上旋转时质量 1 不变量的度量。用现代语言表述，Gâteaux 和 Lévy 的结果如下： $\sigma_{m,1}$ 的序列严格趋向于原点 $(0, 0, \ldots)$ 处的单位质量，$\sigma_{m, \sqrt{m}}$ 的序列严格趋向于 $\Gamma$ 的测量形式

（$\gamma$ 是$\mathbf{R}$ 上方差为 1 的高斯测度）。

前面的测度$\Gamma$起到了无限维数中高斯测度的作用。显然，Lévy 很困惑地希望以一种内在的方式对无限维数的所有希尔伯特空间进行高斯测度定义。事实上，正如Lévy和Wiener所示，测度$\Gamma$在某种意义上是不变的$^4$在自同构或$l^2$下；不幸的是，平方可求和的序列$(x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots)$的集合$l^2$对于$\Gamma$的度量为零。今天我们知道，我们必须满足于无限维数.$^5$ 的希尔伯特空间的高斯测度

To Wiener is owed the essential progress: if there is no reasonable Gaussian measure on a Hilbert space of infinite dimension, it is possible to construct by means of the primitive operation a measure $w$ on a space of continuous functions starting with a Gaussian premeasure. 我们将简洁地解释 Wiener [336] 的 $w$ 的初始构造；它直接受到 Gâteaux 的关系 $\Gamma = \lim_{m \to \infty} \sigma_{m, \sqrt{m}}$ 和 Lévy 的影响。 对于每个整数$m \geq 1$，让我们用$T = ]0, 1]$上函数的$H_m$集合表示，它们在每个间隔$]\frac{k-1}{m}, \frac{k}{m}]$（对于$k = 1, 2, \ldots, m$）上都是恒定的，而$\pi_m$是在欧氏上旋转下质量1不变的测量半径为 1 in $\mathbf{R}^m$ 的球体。 设$f_m$为$\mathbf{R}^m$上$H_m$的同构，它与在区间$]\frac{k-1}{m}, \frac{k}{m}]$向量$(a_1, a_2 - a_1, \ldots, a_m - a_{m-1})$上取值$a_k$的每个函数相关联（从而“微分”的名称） 空间”亲爱的维纳）；让我们用$w_m$表示$f_m^{-1}$下$\pi_m$在$H_m$像上的度量。 维纳定义措施$w$正在寻求作为措施$w_m$中的极限。 准确地说，让我们用$T$上正则函数的$H$集合表示，一致收敛拓扑（对于每个整数$m \geq 1$，我们有$H_m \subset H$）；对于每个以 $H$ 为界的一致连续函数 $F$，存在极限 $A\{F\} = \lim_{m \to \infty} \int_{H_m} F(x) dw_m(x)$； 然后，维纳通过游戏中项目波动的微妙数学分析获得了某些专业，并且再次采用丹尼尔提出的紧凑性论证，他表明我们处于应用丹尼尔的扩张定理的情况。 我们结论存在由$C(T)$携带的测度$w$，并且使得$A\{F\} = \int_{C(T)} F(x) dw(x)$。 然后维纳可以证明，测量$w$对应对爱因斯坦的假设，$^6$和他的估计使他能够给出精确的

$^4$ 准确地说，以下结果成立。 令$U$为希尔伯特空间$l^2$的自同构和$U$的$(u_{mn})$矩阵。 令$E$为所有实数序列$(x_n)_{n \geq 1}$的向量空间和由序列$(x_n)_{n \geq 1}$组成的$E$的$F$子空间，其中级数$\sum_{n \geq 1} u_{mn} x_n$对所有$m \geq 1$收敛。 公式$(Ux)_m = \sum_{n \geq 1} u_{mn} x_n$定义将$F$的线性映射$\tilde{U}$引入$E$，测度$\Gamma$集中在$F$，我们有$\tilde{U}(\Gamma) = \Gamma$。

$^5$这个概念是由I以“弱规范分布”的名义引入的。西格尔[281]。作者对高斯预测度及其在域量子理论中的某些问题的应用进行了详细研究。

$^6$ 这是由公式

意味着Perrin在函数上的注没有导数：函数满足的集合，阶$\frac{1}{2}$的Lipschitz条件，对于$w$可以忽略不计（相反，对于每个$a$ $0 < a < \frac{1}{2}$，几乎每个函数都满足阶$a$的Lipschitz条件）。

今天我们知道维纳测度有无数的构造。因此，Paley 和 Wiener 使用随机傅里叶级数（[243]，第IX）：对于每个实数序列$a = (a_n)_{n \geq 1}$和每个整数$m \geq 0$，让我们在$]0,1]$上定义函数$f_{m,a}$通过

可以证明，对于$\Gamma$-几乎所有序列$a$，函数$f_{m,a}$的序列趋向于连续的函数$f_a$，并且$w$是$\Gamma$的像： 映射（几乎到处都有定义）$a \mapsto f_a$。 后来，Lévy 给出了 [201 b 和 c] 另一个构造。 最后，Kac、Donsker 和 Erdös 在 1950 年左右展示了如何通过更一般的测量将维纳最初的构造中的替换应用于 $\mathbf{R}^m$ 上的球形测量 $\pi_m$。 他们的结果在维纳测度和概率论的极限定理之间建立了牢固的联系；它们将由 Prokhorov [254] 在我们稍后将返回的工作中完成和系统化。

这里不是分析维纳的发现所引发的众多重要概率论著作的地方；今天，布朗运动仅作为马尔可夫过程中最重要的例之一出现。我们只会提及 Kac 对某些抛物型偏微分方程的解维纳测度的应用；这是费曼在量子域理论中的思想的改编——数学与物理学问题之间相互影响的另一个例。

射影极限措施。

这是专门针对概率论的需要而发展起来的理论。当序列的律$P_X$已知时，关于随机变量$X_1, \ldots, X_n$的有限序列的问题在原理中求解：它是$\mathbf{R}^n$上质量1的正测度，使得同时获得不等式$a_1 \leq X_1 \leq b_1, \ldots, a_n \leq X_n \leq b_n$的概率等于$P_X(C)$，其中$C$是$\mathbf{R}^n$的封闭盒子$[a_1, b_1] \times \ldots \times [a_n, b_n]$。

（我们有一个约定$x^0 = 0$）。维纳受过哈代严格分析训练，对当时概率论的基础持谨慎态度，他小心翼翼地不使用术语或概率结果。结果他的回忆录充满了强大的公式，前一个就是其中的一个样本；这一特性是减缓维纳思想传播速度的因子之一。

实际上，测度$P_X$具有离散支持，否则就勒贝格测度而言承认密度。当随机变量无限序列$(X_n)_{n \geq 1}$时，对于每个整数$n \geq 1$，部分序列$(X_1, \ldots, X_n)$的律$P_n$一般都是已知的；这些给出了律满足兼容性条件，表达了序列$(P_n)_{n \geq 1}$是度量的投影系统这一事实。直到 1920 年左右，人们以一种或多或少隐含的方式定义了与无限序列相关的事件概率，从有限情况的概率开始，通过“自然”经过到极限 ；因此，假设游戏停止的概率是极限，因为 $n$ 趋于无穷大，游戏最多停止$n$ 步的概率。当然，这样的理论很难连贯，而且不排除存在“悖论”，即同一个概率根据是否被两个程序中的一个或另一个评估为与另一个程序一样“自然”而接受两种不同的估计。

Steinhaus [293] 似乎是第一个感到有必要（对于抛硬币的情况）不仅考虑射影系统 $(P_n)_{n \geq 1}$ 而且还考虑它的极限的人。不久之前，即1919年，Daniell [76 d] 证明了一般情况下射影极限、$^7$的存在，但这一结果在欧洲似乎仍然未知。 1933 年，柯尔莫戈洛夫 (Kolmogoroff) 在著作 [183]​​ 中再次发现了这一点，作者在该著作中阐述了概率论的公理化概念。 Daniell 和 Kolmogoroff 的证明使用基于 Dini 的定理的紧致性论证。

Daniell-Kolmogoroff 定理在随机序列 $(X_n)_{n \geq 1}$ 的情况下没有任何不足之处，但是 Kolmogoroff、Feller 和 Doob 从 1935 年开始对随机函数进行的研究掩盖了相当另一个阶的困难。 Let us consider for example an interval $T$ of $\mathbf{R}$, which represents the set of instants of observations of a “stochastic process”; the set of possible trajectories is the product space $\mathbf{R}^T$, considered as a projective limit of partial products $\mathbf{R}^H$, where $H$ runs through the set of finite subsets of $T$; one obtains in general a projective system of measures $(\mu_H)$. Kolmogoroff 的定理确实提供了对 $\mathbf{R}^T$ 的测量，但它是在一个明显小于 Borel 族的族上定义的。$^8$ Kolmogoroff 的构造的一个变体，它提供了对拓扑空间的测量，由 Kakutani [177] 提出，并且已被多次重新发现因为：我们认为$\mu_H$是$\mathbf{R}^H$对$\overline{\mathbf{R}}^H$的测度；$^9$，紧致空间$E = \overline{\mathbf{R}}^T$是有限乘积$\overline{\mathbf{R}}^H$的射影极限，并且对$E$的测度$\mu$可以是

$^7$ Daniell 处理 $\mathbf{R}$ 紧致区间乘积 $\prod_{n \geq 1} I_n$ 的测度情况，但他的方法扩展立即处理紧致空间的任意乘积的情况。

$^8$ 柯尔莫戈洛夫测度仅针对形式 $A \times \mathbf{R}^{T-D}$ 的 $\mathbf{R}^T$ 中的 Borel 集合定义，其中 $D$ 是 $T$ 的可数子集，$A$ 是子集的 Borel 子集 $\mathbf{R}^D$；由此，对于任意乘积 $\mathbf{R}^T$，柯尔莫戈洛夫的定理是可数乘积情况的直接的推论。

$^9$ 替换 $\overline{\mathbf{R}}$ 可以通过任何紧凑的空间包含 $\mathbf{R}$ 作为稠密的子空间。

定义为 $\mu_H$ 的射影极限。但这个过程有一个严重的不便； $\overline{\mathbf{R}}^T$的元素不具有任何规律性性质，允许继续对过程进行概率研究——或者甚至简单地消除由$\mathbf{R}$的紧致化$\overline{\mathbf{R}}$引入的寄生值$\pm \infty$。可以通过将$\overline{\mathbf{R}}^T$的测量$\mu$限制为特定的子空间（在布朗运动的情况下为例$\mathscr{C}(T)$）来补救；根本的困难源于以下事实：泛函空间，即使是通常的型，也不一定可以在 $\overline{\mathbf{R}}^T$ 中测量$\mu$，甚至泛函空间的选择也可能存在问题。$^{10}$

1956 年，普罗霍罗夫在其著作 [254] 中迈出了决定性的一步，该著作对随机过程理论产生了决定性的影响。通过代入维纳在上面分析的文章中使用的方便公理形式方法，他建立了泛函空间测度射影极限的一般存在性定理。

Bochner [24 b] 于 1947 年引入了射影系统的更受限制的类；这是由有限维的实向量空间和满射线性变换组成的射影系统的情况。这样的系统的射影极限以自然的方式与实数向量空间 $E$ 的代数对偶 $E^*$ 进行识别，并提供弱​​ 拓扑 $\sigma(E^*, E)$；测度的相应的投影系统具有极限，这是为明显小于$E^*$的Borel族而定义的测度$\mu$。博赫纳用傅里叶变换完全描述了这种“预防措施”，即$E$上的函数。但这个结果在$E$上缺少拓扑的情况下几乎不可用，在这种情况下，必须考虑将$\mu$作为$E$的拓扑对偶$E'$的测度的可能性。 R. Fortet 和 E. Mourier 以独立的方式，在试图将 Banach 空间中的值推广到随机变量时，概率论的某些经典结果（大数的律，中央极限定理）也指出了傅里叶变换在这些问题。但直到 1956 年才取得实质性进展，当时 Gelfand [125 c] 提出傅里叶变换的自然框架不是 Banach 空间或 Hilbert 空间的框架，而是核 Fréchet 空间的框架。他推测，在这样的空间上，正型的每一个连续的函数都是其对偶测度的傅里叶变换，这一结果很快就由Minlos [222]建立了之后。它的重要性首先来自于它适用于分布空间，并且泛函空间的拟总体是分布空间的Borel子空间（因此构成比$\mathbf{R}^T$更好的设定）。$^{11}$随机分布理论是一个领域完整展开，我们将满足于向读者推荐 Gelfand 和 Vilenkin 的作品 [126]。

$^{10}$ 有关功能空间措施的构造问题的详细讨论，以及使用之前 Prokhorov 的方法，请参见J. L。杜布[93]。

$^{11}$ X 的阐述。可以参考Fernique [110]，它也有包含严格收敛的大量结果。

24. INTEGRATION IN NON LOCALLY COMPACT SPACES.

我们刚才在射影极限上提到的结果利用了基空间上拓扑的存在性。可以问在“抽象”措施的情况下是否存在类似的理论。冯·诺依曼早在 1935 年就证明了在所有情况下都存在乘积测度，但是 Jessen 和 Andersen [290] 发现的反例破灭了测度的每个射影系统都承认极限的希望。发现了两种姑息疗​​法：1949 年，C。约内斯库-图尔恰建立了可数射影极限的存在性，并承认了合适的分解、$^{12}$的存在性，这对于马尔可夫过程的研究来说是一个非常有趣的结果；此外，很明显，除了通过紧凑的子集的集合之外，空间的拓扑不会出现。因此，很自然地，通过子集的集合的紧凑类的概念，寻求在抽象理论中公理化这种情况。这项工作由 Marczewski（他通过这种方式在抽象射影极限上建立了定理）和 Ryll-Nardzewski（他致力于分解措施）于 1953 年完成。$^{13}$

一般拓扑空间和严格收敛的措施。

对拓扑和测度论之间联系的研究特别被认为是对测度正则性性质的研究，特别是“外部”正则性和“内部”正则性的研究；$^{14}$内部正则性等价于局部紧致无穷大可数空间上的外部正则性。勒贝格给出的直线上的集合测度的构造引出了这两种规律性，而波兰空间测度的外部规律性性质似乎在1935年左右就已经声名狼藉。但直到1940年，A. D. Alexandroff [3] 在一篇因战争而减慢传播速度的文章中才提出了这一点。指出了内部规律性的作用，并表明波兰空间的措施具有这种作用；这个结果后来被 Prokhorov [254] 再次发现，并且经常被错误地归因于该作者。最近才出现这个性质延伸到了 sublinian 空间；正因为如此，这些空间的重要性大大增加，甚至人们知道他们的

$^{12}$ 看来，正是由于缺乏合适的分解理论，才标志着“抽象”测度理论的极限。这种困难在与条件概率相关的概率论中以持续的方式再次出现。 $^{13}$ 对于这一理论的解释，可以参考[249]。 $^{14}$ 离散拓扑空间的 Borel 族上的“抽象”测度 $\mu$ 被称为外正则，如果每个 Borel 集合的测度是包含的开集合测度的下界；如果每个 Borel 集合的度量是其紧致体子集的度量的上界，则称度量 $\mu$ 是内正则的。

理论可以在没有可计量性假设的情况下完成，并且泛函空间的准整体是亚线性的（甚至最常见的是卢西尼亚式的）。 15

通过将措施的对偶性空间与连续函数的空间放入措施的对偶性空间，可以以最方便的方式完成措施的收敛模式（弱或严格）的定义。 A. A. Markhoff 推广了 F. Riesz 的一个古老结果，于 1938 年在 $C(X)$ 上的正泛函和紧致空间 $X$ 上的正则测度之间建立了双射对应。在已经引用的作品 [3] 中，A. D.. Alexandroff 扩展在完全正则空间的情况下得到了这些结果：他在完全正则空间上的有界连续函数的空间 $C^b(X)$ 上引入了正线性形式集合的层次结构$X$,16 他定义有界测度的严格收敛，并证明了以下两个定理：

a) 如果$X$是波兰语，则$C^b(X)$相应的上的线性形式对测度的集合在序列的弱收敛中封闭；

b) 如果有界测度的序列有严格的极限，“不存在向无穷大逃逸的质量”（它是普罗霍洛夫严格收敛的定理倒数的弱形式）。

从概念和定理的融合中，普罗霍罗夫将知道如何提取随机过程理论的重要结果，并以简单而引人注目的形式来呈现它们。在他 1956 年的伟大著作中（已被引用）[254]，一个重要的部分致力于波兰空间的有限积极措施；在推广Lévy的构造时，他将定义放在质量1的正测量的集合上，使其成为波兰语空间，然后他建立了严格收敛的重要紧致性准则。独立于 Prokhorov，Le Cam [197] 对于措施的严格收敛获得了一定的数紧致性结果；他没有对他所考虑的空间提出可量性假设，并且在局部紧致情况下，他的结果约化相对于 Dieudonné 之前的定理 。

15 在阶中，为了解决某些概率困难（特别是随机独立或依赖的不同概念之间的联系），几位作者引入了受限制的类“抽象”度量：柯尔莫戈洛夫-格内登科的“完美”空间，“卢西尼亚”空间布莱克威尔，“勒贝格”罗克林的空间。事实上（至少考虑到相当弱的可数性假设），所有这些定义都给出了与亚线性空间上的正有界测度同构的“抽象”测度的特征。关于这个问题可以查阅[249]。

16 他通过一般性的递减阶来区分$\sigma$测度（$X$Borel系列的“抽象”测度）、$\tau$测度（外部常规测度）和刚性测度（内部常规测度）。当$X$是波兰语时，这三个概念重合。 术语本身归功于 MacShane 和 Le Cam [197]。关于这种分类所产生的工作的说明可以在[316]中找到。