§ 25. 李群和李代数。 · 数学史原理

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25. 李群和李代数。

I。创世记。

这个理论近一个世纪以来一直被称为“李群理论”，它本质上是由一位数学家 Sophus Lie 提出的集合。从之前的历史开始，我们将简要总结早期为它的发展做准备的各种研究。

a) 转变（Klein-Lie，1869-1872）。

1860 年左右，有限集合的置换群理论正在发展并开始使用（Serret、Kronecker、Mathieu、Jordan）。另一方面，不变量理论的发展使数学家熟悉了在合成下封闭的某些无限集合几何变换（尤其是线性或射影变换）。但是，约旦1868年的之前[174 b]关于“群运动”的工作（关闭了欧氏空间3维数流离失所的子群群），似乎并没有在这两个思想流之间建立任何有意识的联系。

1869 年，普吕克的学生、年轻的费利克斯·克莱因 (Felix Klein，1849-1925) 在柏林与比他大几岁的挪威人索菲斯·李 (Sophus Lie，1842-1899) 成为朋友，因为他们对普吕克的“直线几何”，尤其是直线复形理论 (p. 133) 的公共的兴趣而走到了一起。正是在这个时期，李构想出了他最原始的想法之一，即在数学分析和微分几何中引入概念不变量；其来源之一是他的观察，微分方程“求积”的经典积分方法都依赖于这样一个事实，即方程对于“连续”变换族是不变的。 1869 年，Lie 在第一部作品（由克莱因起草）中使用了这个想法；他在那里研究了“Reye 复合体”（具有给定交叉比的 4 点与四面体面相交的直线集合）以及以该复合体的切线直线为切线的曲线和曲面（[202]，第 I 卷，Abh. V，第 68-77 页）：方法依赖于具有 3 个参数（最大环面为 $\mathbf{PGL}(4, \mathbf{C})$ ）的可交换群下的雷耶复形的不变性，使四面体的角保持不变。同样的想法主导了克莱因和赖伊 1870 年春天来到巴黎时共同撰写的作品（[182]，第 I，第 416-420 页）；他们本质上是确定平面 $\mathbf{PGL}(3, \mathbf{C})$ 的射影群的连通交换律子群，并研究其轨道的几何性质（以V曲线或曲面的名称）；通过统一的程序，赋予它们各种曲线、代数或超越曲线的性质，例如 $y = cx^m$ 或对数螺线。他们的证词一致强调了伽罗华和乔丹的理论给他们留下了深刻的印象（乔丹对伽罗华的评论曾出现在1869年的《数学年鉴》上；无论如何，李早在1863年就已经听说过伽罗华的理论）。克莱因在 1871 年开始对非欧几里得几何感兴趣，并在那里看到了他对所有已知几何进行分类的研究的开始，原理，以及研究，这将引导他在 1872 年提出“埃尔兰根纲领”。就他而言，谎言在 1873 年写给 A. Mayer 的一封信中（[202]，第 5 卷，p. 584）可以追溯到他在巴黎逗留期间关于变革群的思想的起源，而在 1871 年的一部作品中（[202]，第 I，Abh.XII，第 177 页）。 153-214），他已经使用了项“变换群”并明确指出了问题对 $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$ 的所有子群（“连续或不连续”）的确定。说实话，克莱因和赖伊在洞察这个新的数学宇宙时肯定都遇到了困难，克莱因将新出现的乔丹的“论文”称为“用七印密封的书”（[182]，第I，p. 51）；他在其他地方写到（[182]，v.I，第424-459页）：“属于所有与连续算子群的启发式想法有关的东西，特别是所有涉及微分方程或偏微分方程积分的东西，都是谎言。他后来在连续理论中发展的所有概念群已经在他的胚胎中被发现，但是却很少详细说明，以至于I必须让他相信许多细节，因为例在开始时甚至在长时间对话的过程中存在曲线 $V$ ”（[182]，v.I，p. 415）。

b) 无穷小变换。

“无穷小”变换的概念可以追溯到无穷小演算的起源；众所周知，笛卡尔通过假设“在无限小的范围内”每个平面运动都可以被同化为旋转，发现了旋转的瞬时中心；十八世纪分析力学的阐述完全建立在类似的思想之上。 1851 年，Sylvester 寻求线性群的形式不变量

$GL(3, \mathbf{C})$ 或其某些子群，给出在这些矩阵“无限小”增量形式 $\alpha_j dt$ 中出现的参数 $z_j$ ，并通过写下等式 $f((z_j + \alpha_j dt)) = f((z_j))$ 来表示函数 $f((z_j))$ 是不变的；这给了他一个带有偏导数 $Xf = 0$ 的 $f$ 线性方程，其中

Xf = \sum_j \alpha_j \frac{\partial f}{\partial z_j},

因此 $X$ 是一个*微分算子*，“有向参数 $\alpha_j$ 方向上的导数”（[304]，第3卷，第326页和第327页）；西尔维斯特似乎觉得存在一个范围相当广泛的一般原理，但似乎没有回到这个问题。稍后，Cayley ([58], v. II，第 164-178 页) 以相同的方式对群的某些表示中的 $SL(2, \mathbf{C})$ 不变量进行求解，并表明它是第一个阶 $Xf = 0, Yf = 0$ 的两个偏微分方程的解，其中 $X$ 和 $Y$ 是从“无限小”变换开始如上获得的

\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ dt & 0 \end{pmatrix} \text{ and } \begin{pmatrix} 0 & dt \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

在现代项中，这是通过 $X$ 和 $Y$ 生成李代数 $\mathfrak{sl}(2, \mathbf{C})$ 的事实来解释的；除了 Cayley 计算明确地括号 $XY - YX$ 并表明它也来自“无限小”变换。

在 1868 年的回忆录关于群的运动[174 b]中，乔丹从头到尾都使用了“无限小变换”的概念，但完全是从几何点的角度来看的。毫无疑问，正是在他的身上，出现了通过无限小变换“生成”一个参数的群的想法：对于乔丹来说，它是通过“适当地重复”无限小变换获得的变换中的集合（*loc.cit.*p. 243）。 Klein 和 Lie 在 1871 年的回忆录中，使用了相同的表达“重复无限小变换”（[182]，v. I，第 424-459 页），但上下文表明他们的意思是微分系统的积分。如果他们认为具有一个参数的群由变换 $x' = f(x, y, t), y' = g(x, y, t)$ 组成，则相应的“无限小变换”由下式给出

dx = p(x, y) dt, \quad dy = q(x, y) dt

其中 $p(x, y) = \frac{\partial f}{\partial t}(x, y, t_0), q(x, y) = \frac{\partial g}{\partial t}(x, y, t_0)$ ，其中 $t_0$ 对应到群的相同变换。由于 Klein 和 Lie 明确知道函数 $f$ 和 $g$ ，因此他们没有问题来检查函数

t \mapsto f(x, y, t) \text{ and } t \mapsto g(x, y, t)

给出微分方程的参数形式积分曲线

q(\xi, \eta) d\xi = p(\xi, \eta) d\eta

经历点 $(x, y)$ ，但不给出任何一般原因；除此之外，他们在回忆录的其余部分中不再使用这一事实。

c) 接触变换。

在接下来的两年里，李似乎放弃了阶中的变换理论群（尽管他与克莱因保持着非常密切的联系，克莱因于1872年发表了他的“纲领”），转而研究接触变换，即第一个阶和关系的偏微分方程在这两种理论之间的积分。我们不必在这里详细说明这些问题的历史，我们将极限自己提及一些点，它们似乎在转变理论群的起源中发挥了重要作用。

接触变换的概念同时推广了点变换和互极变换。 Grosso modo， $C^n$ 中的接触变换 $^1$ 是同构的开集合 $\Omega$ 的变种 $T'(C^n)$ 的余切向量到 $C^n$ 到另一个的开集合 $\Omega'$ $T'(C^n)$ 将 $\Omega$ 的规范1-形式转换为 $\Omega'$ 的规范1-形式。在其他字中，如果 $(x_i, \ldots, x_n, p_1, \ldots, p_n)$ 描述 $T'(C^n)$ 的规范坐标，则接触变换为同构 $(x_i, p_i) \mapsto (X_i, P_i)$ 满足关系 $\sum_{i=1}^n P_i dX_i = \sum_{i=1}^n p_i dx_i$ 。这种变换发生在形式偏微分方程的研究中

F \left( x_1, x_2, \ldots, x_n, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial z}{\partial x_n} \right) = 0

谎言在他的研究关于这些问题的过程中通过泊松括号的处理变得熟悉

(f, g) = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial p_i} \right)

以及型(25.1)的微分算子的括号 $^2$ $[X, Y] = XY - YX$ ；他将泊松括号 (25.3) 解释为变换对 $f$ 的影响

$^1$ 这里是“齐次”接触变换的情况。此前，考虑型 (25.2) 的方程，但 $z$ 出现在 $F$ 中，导致Lie考虑使用 $2n + 1$ 变量 $z, x_1, \ldots, x_n, p_1, \ldots, p_n$ 的接触变换，其中找到 $2n + 2$ 函数 $Z, P_i, X_i (1 \leq i \leq n)$ 和 $\rho$ （这后者 $\neq 0$ 根本点）这样 $dZ - \sum_i P_i dX_i = \rho(dz - \sum_i p_i dx_i)$ 。这种看似更为普遍的情况实际上很容易简化为“同质”情况（[203]，第 2 卷，第 135-146 页）。

$^2$ 这些已经出现在 Jacobi-Clebsch 理论中的第一个阶 $X_j f = 0 (1 \leq j \leq r)$ 、概念偏微分方程的“完全系统”中，相当于 Frobenius 的“完全可积系统”：基本定理（相当于“Frobenius 定理”）表征这些系统的是括号 $[X_i, X_j]$ 一定是 $X_k$ 的线性组合（可变系数）。

型 (25.1) 与 $g$ 相关联，并观察到泊松括号的雅可比恒等式意味着微分运算符相应的到 $g$ 和 $h$ 的括号与括号 $(g, h)$ 相关联。搜索函数 $g$ ，使得 $(F, g) = 0$ （出现在雅可比的方法中，用于积分偏微分方程 (25.2)）对于 Lie 而言，对于无穷小接触变换，使给定方程保持不变。 Finally, Lie is led to study the set of functions $(u_j)_{1 \leq j \leq m}$ of the $x_i$ and the $p_i$ such that the parentheses $(u_j, u_k)$ are functions of the $u_h$ , and calls these sets "groups" (already considered in substance by Jacobi).

II。连续群和无穷小变换。

突然，1873年秋天，李再次开始对变换群的研究，并取得了决定性的成果。为了尽可能地通过 1873-1874 年写给 A. Mayer 的几封信（[202]，第 5 卷，第 585-608 页）来阐明他的思想，他从对 $n$ 变量进行“连续群”变换开始

x'_i = f_i(x_1, \ldots, x_n, a_1 \ldots, a_r) \quad (1 \leq i \leq n)

有效地依赖于 $^3$ 参数 $r$ 参数 $a_1, \ldots, a_r$ ；他观察到，如果变换 (25.4) 是参数值 $a_1^0, \ldots, a_r^0$ 的恒等式， $^4$ ，则 $x_i$ 的泰勒展开，仅限于第一个阶：

f_i(x_1, \ldots, x_n, a_1^0 + z_1, \ldots, a_r^0 + z_r) = x_i + \sum_{k=1}^r z_k X_{ki}(x_1, \ldots, x_n) + \ldots (1 \leq i \leq n)

给出线性依赖于 $r$ 参数 $z_j$ 的“通用”无限小变换

dx_i = \left( \sum_{k=1}^r z_k X_{ki}(x_1, \ldots, x_n) \right) dt \quad (1 \leq i \leq n).

与克莱因的回忆录一样，李对微分系统进行积分

$^3$ 谎言意味着 $f_i$ 不能用小于 $a_j$ 的 $r$ 函数来表达，或者同样地，雅可比行列式矩阵 $(\partial f_i / \partial a_j)$ “一般来说”是秩 $r$ 。

$^4$ 在他的第一个注中，李相信自己能够*先验地证明在合成下封闭的所有集合变换（4）中恒等式和逆矩阵的存在；他后来认识到他的证明是不正确的，恩格尔为他提供了一个在（[203]，v. I, §44）。 However Lie shows how to reduce the "continuous" systems (4) closed under composition to groupuscules of transformations: such a system is of the form $G \circ h$ , where $G$ is a groupuscule of transformations and $h$ is a transformation of the system ([203], v. I，第。 26，p. 163，以及第 3 节。 46，p. 572）。

\frac{d\xi_1}{\sum_k z_k X_{k1}(\xi_1, \ldots, \xi_n)} = \cdots = \frac{d\xi_n}{\sum_k z_k X_{kn}(\xi_1, \ldots, \xi_n)} = dt,

对于每个点

(z_1, \ldots, z_r)

, 群，这给了他一个参数

t \mapsto x_i' = g_i(x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_r, t) \quad (1 \leq i \leq n)

这样对于每个

i

都有

g_i(x_1, \ldots, x_n, z_1, \ldots, z_r, 0) = x_i

。他以一种巧妙的方式证明，利用变换 (25.4) 构成集合在合成下闭合的事实，带有一个参数 (25.8) 的群是给定群的子群 ([202], vol. 5, Abh. VII, pp. 32-63）。新的想法是整个理论的关键，是继续到函数 (25.4) 的泰勒展开中的第二个阶。他的论点相当混乱且具有启发性（[202]，第 5 卷，Abh. VII，第 32-63 页和 [202]，第 5 卷，第 600-601 页）；可以按如下方式输出集合。对于比较小的

z_j

，可以将

t = 1

代入(25.8)，从而得到群变换的新参数

z_1, \ldots, z_r

（这实际上是“规范参数”的第一次出现）。到定义，我们有关于 (25.7)

\frac{\partial g_i}{\partial t} = \sum_k z_k X_{ki}(x_1', \ldots, x_n'),

从哪里

\frac{\partial^2 g_i}{\partial t^2} = \sum_{k,j} z_k \frac{\partial X_{ki}}{\partial x_j}(x_1', \ldots, x_n') \frac{\partial x_j'}{\partial t} = \sum_{k,j} z_k \frac{\partial X_{ki}}{\partial x_j}(x_1', \ldots, x_n') \left( \sum_h z_h X_{hj}(x_1', \ldots, x_n') \right)

这给出了

x_i' = x_i + (\sum_k z_k X_{ki}(x_1, \ldots, x_n)) t

+ \frac{1}{2} \left( \sum_{k,h,j} z_k z_h \frac{\partial X_{ki}}{\partial x_j}(x_1, \ldots, x_n) X_{hj}(x_1, \ldots, x_n) \right) t^2 + \ldots,

从哪里，对于

t = 1

，泰勒展开相对于参数

z_j

x_i' = x_i + \left( \sum_k z_k X_{ki} \right) + \frac{1}{2} \left( \sum_{k,h,j} z_k z_h X_{hj} \frac{\partial X_{ki}}{\partial x_j} \right) + \ldots (1 \leq i \leq n).

让我们把这些关系简单地写成

x' = G(x, z)

在向量之间

x = (x_1, \ldots, x_n), \; x' = (x_1', \ldots, x_n'), \; z = (z_1, \ldots, z_r);

合成下这些变换的集合闭包的基本性质可写为

G(G(x, u), v) = G(x, H(u, v))

其中 $H = (H_1, \ldots, H_r)$ 独立于 $x$ ； $H(u, 0) = u, H(0, v) = v$ 、从而展开就是直接的

H_i(u, v) = u_i + v_i + \frac{1}{2} \sum_{h,k} c_{ikh} u_h v_k + \ldots,

项在 $u$ 或 $v$ 中都没有被写成非线性。借助(25.9)和(25.11)右(25.10)进行变换，然后比较两个成员的 $u_h v_k$ 中的项，Lie得到关系

\sum_{j=1}^n \left( X_{hj} \frac{\partial X_{ki}}{\partial x_j} - X_{kj} \frac{\partial X_{hi}}{\partial x_j} \right) = \sum_{l=1}^r c_{lhk} X_{li} \quad (1 \leq h, k \leq r, 1 \leq i \leq n).

他在偏微分方程理论方面的专业知识使他能够将这些条件写成更简单的形式：遵循（25.1）的模型，他将这些 $r$ 无限小的变换与通过将 $z_k = 1, z_h = 0$ （对于 $h \neq k$ ）放入微分算子（25.6）中获得的联系起来

A_k(f) = \sum_{i=1}^n X_{ki} \frac{\partial f}{\partial x_i},

并在形式中重写条件 (25.12)

[A_h, A_k] = \sum_l c_{lhk} A_l,

他的理论的基石。在此之前，他一直不加区别地使用项“无限小变换”和“无穷小变换”（*例如* [202]，第 5 卷，Abh. I，第 1-4 页）；关系 (25.14) 的简单性导致他将运算符 (25.13) 称为无穷小变换 $dx_i = X_{ki} dt$ ( $1 \leq i \leq n$ ) ([202], vol. 5, Abh. III, pp. 42-75) 的“符号”，并且很快，他将调用运算符 (25.13) 本身*无穷小变换*（[202]，第 5 卷，Abh. III，第 42-75 页和 [202]，第 5 卷，p. 589）。

然后，他意识到将“连续群”理论与他之前关于接触变换和偏微分方程的研究理论结合起来的紧密联系。这个链接让他充满了热情：*“我的旧工作可以说是提前准备好建立新的变换群理论”*他于 1874 年写信给梅耶尔（[202]，第 5 卷，p. 586）。

在接下来的几年里，李继续进行转型群的研究。除了这里总结的一般定理（§III）之外，他还获得了一些数更具体的结果：直线和平面的变换群的确定，射影群中小余维的子群，最多6个参数的群等。尽管如此，他并没有放弃微分方程。事实上，对他来说，变换理论群甚至似乎是积分微分方程的工具，其中变换群将发挥类似于代数方程伽罗瓦群的作用。 $^5$ 让我们注，这个研究同样引导他引入某些集合变换，其中无限的参数，他称之为“无限且连续的群”； $^6$ 对于上面的型（25.4）参数的有限数，他保留了变换群的名称“有限且连续的群”。

III。 “字典”李群 — 李代数。

“有限和连续”理论群，由李自 1874 年开始在众多回忆录中发展起来，集合系统地出现在与 F. Engel 合作撰写的巨著《Theorie der Transformationsgruppen》（[203]，1888-1893）中； $^7$ 它是第一卷和第二卷的对象。第三个的最后五个章，第二个致力于接触转换。

正如标题所表明的，在这项工作中，除了变换群之外，在方程（25.4）的含义中，从来没有任何其他问题，其中“变量” $x_i$ 的空间和“参数” $a_j$ 的空间最初都扮演着同样重要的角色。另外“抽象”群的概念此时还没有明确表达；当在 1883 年时 ([202], vol. 5, Abh. XII, pp. 311-313) 谎言注与 (25.10) 的记号，方程 $w = H(u, v)$ ，它给出了群的两个变换的乘积参数，定义一个新的群，它是他正在考虑的参数空间的*变换群*，从而获得他所谓的

$^5$ 这个研究对微分方程的一般理论影响很小，此类方程的群或自同构通常是微不足道的。相反，对于某些型方程（对于例线性方程），Picard、Vessiot 随后获得了有趣的结果，最近，Ritt 和 Kolchin 也获得了有趣的结果。

$^6$ 今天它们被称为“李伪群”；我们必须小心，不要将它们与“Banach”李群混淆。

$^7$ 从1886年到1898年，赖伊在莱比锡接替了克莱因空出的席位，并让恩格尔担任助手；这种情况有利于活跃的数学学校的蓬勃发展，以及李的思想的传播，而在此之前，李的思想还鲜为人知（值得注意的是，他的第一个回忆录通常是用挪威语写成的，并发表在克里斯蒂安尼亚学院的Comptes Rendus上，在其他地方传播得很差）。因此，在年轻的法国数学家去德国学习的情况并不常见的时候，E. Vessiot 和 A. Tresse 在莱比锡跟随 Sophus Lie 学习了一年。

“参数群”（他甚至获得了其中两个，正是左翻译的群和右翻译的群）8。

方程(25.4)中的变量 $x_i$ 和参数 $a_j$ 在原理中被假定为复数（除了第3节的XIX-XXIV章节），并且函数 $f_i$ 是解析的； Lie 和 Engel 当然意识到，这些函数并不是对 $x_i$ 和 $a_j$ 的所有复杂值进行一般性定义，并且在推论、合成中，此类转换会带来严重的困难（[203]，第 I，第 177 页）。 15-17，第33-40页和passim）；尽管后来他们几乎总是表达自己所研究的转变中的合成无需限制总是可能的，但这无疑只是为了叙述的方便，并且每次有必要时他们都会明确地重新建立“本地”视图点（cf.loc.cit.，第168或189页）例或同上，第3节，p. 2，注位于页面底部）；在其他字中，他们正在研究的数学对象接近我们现在所说的部分运算律。有时，他们不会忘记考虑全局群，对于例，经典群的4级数（[203]，第3节，p. 682），但似乎没有集合本身的问题，即“全局群”通常是什么；对于经典群的“参数”（这些群的“变量”不会引入任何困难，因为它是 $\mathbf{C}^n$ 的线性变换的情况），他们能够获得相同变换的邻域中“局部”参数的系统就足够了，而无需关心他们写下的公式。然而，它们集合本身有一个问题明显地从局部理论中脱颖而出：9 “混合”群的研究，也就是说群具有有限的数连接分量，例如正交群 ([203], v. I, p. 7）。他们将这项研究呈现为在合成下闭变换的集合并取逆，即集合 $H_j$ 的并，使得每个都由函数 $f_i^{(j)}$ 的系统描述，如(25.4)中所示；每个 $H_j$ 的（基本）参数中的数甚至被假定为先验地依赖于 $j$ $a$ ，但实际上它们表明这个数对于所有 $H_j$ 都是相同的。他们的主要结果是存在有限连续群 $G$ ，使得 $H_j = G \circ h_j$ 对于 $h_j \in H_j$ 和所有 $j$ ；他们还证明， $G$ 在混合的群和注中是正规的，后者约化的不变量的确定与 $G$ 和不连续群的不变量的确定（[203]，v.I，第18章）。

[203]中发展的一般理论通过伪造一个“字典”来结束（作者没有以非常系统的方式陈述），将“有限连续”群的属性翻译为那些

8 置换的群的类似概念已由乔丹在他的“Traité”中介绍和研究。 9 让我们记住，(p. 119)，继 H. Poincaré ([251], v. V，第 77-79 页) 的注之后，许多作者研究了有限维的结合律代数的可逆元群。在这方面，注很有趣，E. Study 在他关于这个主题的工作中引入了一种象征意义，约化实质上是考虑由参数群定义的抽象群。

集合的无穷小变换。它以“谎言的三个定理”为基础，每个断言及其逆命题组成。

第一个定理 ([203], v. I, pp. 33 和 72 以及 v. 3, p. 563) 在第一个实例中确认，如果 (25.4) 中的参数有效，则偏微分方程的函数 $f_i$ 满足系统形式

\frac{\partial f_i}{\partial a_j} = \sum_{k=1}^r \xi_{ki}(f(x, a)) \psi_{kj}(a) \quad (1 \leq i \leq n)

其中矩阵 $(\xi_{kl})$ 的最大值为秩和 $\det(\psi_{kj}) \neq 0$ ；反之，如果函数 $f_i$ 具有性质、公式 (25.4) 定义一组变换。

第二个定理（[203]，v.I，第149和158页，以及v.3，p. 590）给出一方面 $\xi_{ki}$ 与 $\psi_{ij}$ 之间的关系： $\xi_{ki}$ 上的条件可以写成形式

\sum_{k=1}^n \left( \xi_{ik} \frac{\partial \xi_{jl}}{\partial x_k} - \xi_{jk} \frac{\partial \xi_{il}}{\partial x_k} \right) = \sum_{k=1}^r c_{ij}^k \xi_{kl} \quad (1 \leq i, j \leq r, 1 \leq l \leq n)

其中 $c_{ij}^k$ 是 $i, j$ 中反对称的常数 $(1 \leq i, j, k \leq r)$ 。 Maurer 给出的形式中的 $\psi_{ij}$ 上的条件为：

\frac{\partial \psi_{kl}}{\partial a_m} - \frac{\partial \psi_{km}}{\partial a_l} = \frac{1}{2} \sum_{1 \leq i, j \leq r} c_{ij}^k (\psi_{il} \psi_{jm} - \psi_{jl} \psi_{im}) (1 \leq k, l, m \leq r).

通过引入矩阵 $(\alpha_{ij})$ 与 $(\psi_{ij})$ 相悖以及无穷小变换

X_k = \sum_{i=1}^n \xi_{ki} \frac{\partial}{\partial x_i}, \quad A_k = \sum_{j=1}^r \alpha_{kj} \frac{\partial}{\partial a_j} \quad (1 \leq k \leq r),

(25.16) 和 (25.17) 可以分别写成：

[X_i, X_j] = \sum_{k=1}^r c_{ij}^k X_k \quad (1 \leq i, j \leq r)

[A_i, A_j] = \sum_{k=1}^r c_{ij}^k A_k.

相反，如果给定 $r$ 无限小变换 $X_k (1 \leq k \leq r)$ （线性无关）和满足条件 (25.19)，则这些变换生成的一个参数子群是具有 $r$ 基本参数的变换的生成群。

最后，第三个定理（[203]，v.I，第170和297页以及v.3，p. 597）约化确定无穷小变换 $(X_k)_{1 \leq k \leq r}$ 满足（25.19）到纯代数的系统问题：我们必须有

c_{ij}^k + c_{ji}^k = 0 \tag{25.21}

\sum_{l=1}^r (c_{il}^m c_{jk}^l + c_{kl}^m c_{ij}^l + c_{jl}^m c_{ki}^l) = 0 \quad (1 \leq i, j, k, m \leq r). \tag{25.22}

相反， $^{10}$ 如果满足(25.21)和(25.22)，则存在系统无穷小变换满足关系(25.19)，来自具有 $r$ 参数的变换从而群（在其他字中，线性组合与 $X_k$ 的常系数组成李代数，反之有限维的每一个李代数都可以这样得到）。

这些结果是通过同构问题的研究完成的。如果可以通过变量上的坐标的可逆变换和参数上的坐标的可逆变换从一个变换到另一个变换，则称两个变换群是*相似的：从他的研究开始，Lie以一种自然的方式结合“规范参数”的定义来满足这个概念。他证明，如果通过对“变量”进行变换，一个可以将一个的无穷小变换带到另一个的无穷小变换上，则两个群是相似的（[203]，v.I，p. 329）。要做到这一点，必要的条件是两个群中的李代数是同构的，Lie用说表达群是*“gleichzusammengesetzt”*，但是这个条件是不够的，整个章 ([203], v. I, 第 19 章) 致力于获得补充条件确保群应“相似”。另一方面，置换群的理论提供了两个这样的群的“全息同构”的概念（底层“抽象”群的同构）；谎言转置这个概念到群的变换，并表明两个这样的群是“全息同构”当且仅当它们的李代数是同构的（[203]，v.I，p. 418）。特别是，每个群变换都与其每个群参数全息同构，这表明，当人们希望研究群的结构时，它们所操作的“变量”并不重要，事实上约化的所有内容都与约化有关。李代数. $^{11}$

总是与置换群理论类比。 Lie引入了子群的概念、正规子群、“meriedric同构”（满同态），并证明它们对应到子代数、理想和李代数的满同态；除了他

$^{10}$ 这个逆命题不是没有困难就得到的。 Lie 给出的第一个证明 ([202], vol. 5, Abh. III, pp. 42-75) 包含在经过到伴随群之间，并且实际上仅当给定李代数的中心减少到 0 时才有效。他后来给出了两个一般性其中证明（[203]，第 2 卷，第 XVII 章和第 3 卷，第 599-604 页）；相当重要的是，第一个基于接触变换，而且李发现它比第二个更自然。

$^{11}$ 可以注意到，“抽象”理论群，特别是有限理论，也有类似的演变。它们最初被定义为变换的群，但凯莱已经指出，重要的是变换组合在一起的方式，而不是特定对象的具体表示、群、置换的本质。

很早就遇到了“meriedric 同构”的一个特别重要的例，伴随表示，并认识到它与群的中心的联系（[202]，第5卷，Abh.III，第42-75页）。对于这些结果，对于基本定理，基本工具是 Jacobi-Clebsch 的定理，它给出了微分系统的完全可积性（定理的形式之一称为“Frobenius”）；他碰巧使用带有一个参数的群给出了它的新证明（[203]，v.I，第 6 章）。

传递性的概念和原性，对于置换的群非常重要，对于变换的“有限和连续”群来说也自然出现，Lie-Engel的论文对它们进行了详细的研究（[203]，v.I，第13章和passim）；观察到关系与子群稳定点和同质空间的概念（在不将自己置于全局点的情况下尽可能多地观察）（[203]，v.I，p. 425）。

最后，在[203]中，通过引入导出群的概念和可溶群（Lie称为“可积群”；这个术语，由微分方程理论提出，将继续使用，直到H. Weyl的工作）（[203]，v. I、p. 261 和第 3 卷，第 678-679 页）；此外，Lie 在 1883 年就已经观察到了换位子和括号之间的关系（[202]，第 5 卷，p. 358）。

基本定理的其他证明。

在 [278 b] 中，F. Schur 表明，在正则坐标中，(15) 满足的 $\psi_{ik}$ 微分方程

\frac{d}{dt}(t\psi_{ik}(ta)) = \delta_{ik} + \sum_{j,l} c^k_{jl} ta_l \psi_{ji}(ta).

这些积分并给出公式等价于公式

\varpi(X) = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)!} (\mathrm{ad}(X))^n

对于指数映射在点 $X$ 的右微分 $\varpi(X)$ ；特别是，在规范坐标中， $\psi_{ij}$ 被扩展到 $a_k$ 的整个函数。 F. Schur 由此推导出一个结果，使谎言的早期注变得精确：如果在群变换的定义（25.4）中，仅假设 $f_i$ 在类 $C^2$ 中，则群全息同构于分析群. $^{12}$ 遵循他的研究积分

$^{12}$ 谎言已经在没有证明的情况下陈述了这种结果（[202]，第6卷，Abh.V，第230-236页）。他是在几何基础上的研究（《亥姆霍兹的问题》）的指导下得出这一结论的，他在其中指出分析性的假设不是自然的。

微分系统，E. Cartan ([52 a], v. II_2, p. 371) 在 1904 年引入了普法夫形式

\omega_k = \sum_{i=1}^r \psi_{ki} da_i \quad (1 \leq i \leq r)

（记号为(25.15)），后来称为*Maurer-Cartan形式*。 Maurer 的条件 (25.17) 可以写成

d\omega_k = -\frac{1}{2} \sum_{i,j} c_{ij}^k \omega_i \wedge \omega_j;

E.嘉当表明，可以从 $\omega_k$ 开始发展有限连续群理论，并建立这个点视图和李视图的等价。但是，对他来说，对这个方法的兴趣尤其在于它能够适应“无限和连续”群，为此他将李伊所做的理论进一步推进，并且它允许设定提出他的广义“移动标记”理论。

IV。李代数的理论。

一旦获得了变换的群和李代数之间的对应，该理论将发生明显的代数转向，并将集中于对李代数的深入研究。 $^{13}$

第一个短暂时期，从 1888 年到 1894 年，以 Engel、他的学生 Umlauf，尤其是 Killing 和 E. Cartan 的工作为标志，最终在复杂的李代数上取得了级数的惊人结果。我们在上面已经看到，可溶李代数的概念是由Lie自己造成的，他（在复杂的情况下）证明了可溶线性李代数的定理还原为三角形形式（[203]，v.I，p. 270）。 $^{14}$ Killing观察到[180] 李代数存在一个最大可溶理想（今天称为根式），并且李代数除以它的根式的商具有零根式；他用空根式*半单*调用李代数，并证明它们是单代数的乘积（最后一个概念已经由

$^{13}$ 项 “李代数”由 H. Weyl 在 1934 年提出：在他 1925 年的作品中，他使用了“无穷小群”这一表达方式。在此之前，人们简单地谈到群的“无穷小变换 $X_1 f, \ldots, X_r f$ ”，李和恩格尔经常将其缩短为说“群 $X_1 f, \ldots, X_r f$ ”。

$^{14}$ 几乎在他的研究的开始，李遇到了可溶线性群，甚至实际上是幂零的（[202]，第5卷，Abh.IV，第78-133页）。

Lie，他证明了“经典”李代数（[203]，v.3，p. 682）的简单性。

另一方面，Killing 在李代数中引入了特征方程 $\det(\mathrm{ad}(x) - \omega.1) = 0$ ，Lie 在研究维数 2 包含给定元素的李代数的李子代数时已经满足了该特征方程。我们将方法的数学分析称为其他历史注记，而基林在深入研究半单代数的“通用”特征方程根的性质时，最终得到了他最引人注目的结果，即“完整”确定了简单（复杂）李代数. $^{15}$

Killing证明可溶代数的导出代数是“秩0”（这意味着 $\mathrm{ad}\, x$ 对于代数的每个元素 $x$ 都是幂零的）。很快之后，恩格尔证明了代数“秩 0”是可溶的（这个叙述实质上就是今天所说的恩格尔的定理）。另一方面，E.嘉当在他的论文中介绍了现在所谓的“杀戮形式”，并建立了两个基本的判据，通过这个形式可溶的李代数和半单李代数。

Killing 肯定了（[180]，IV）李代数的派生代数是半单代数及其部首的和，它是幂零的，但他的证明是不完备的。稍后，E. Cartan 宣布没有证明 ([52 a], v. I_1, p. 104)，更一般地，每个李代数都是其部首和半单子代数的和；此时无可争议地建立在这个方向上的唯一结果是恩格尔的定理，确认在每个不可溶的李代数中，存在维数3的简单谎言子代数。第一个发表的嘉当叙述的证明（对于复数李代数）是由于E.E.莱维[200]；另一个证明（对于真实情况同样有效）由 J. H. C 给出。怀特海于 1936 年[334a]。 1942 年，A. Malcev 在“Levi 截面”上完成了唯一性定理直到共轭的结果。

从他的第一部作品开始，Lie 就拥有了每个李代数的同构的集合问题以及线性李代数。他认为通过考虑伴随词表示（并由此推导出他的“第三个定理”的证明），他已经肯定地解决了这个问题（[202]，第5卷，Abh. III，第 42-75 页）；他很快意识到他的证明只对李代数正确，而中心为空；之后他，这个问题长期悬而未决，并于1935年被Ado肯定地解决了[2a]。另一方面，李基本上通过集合自己问题确定了简单李代数的最小维数的线性表示，并解决了经典的代数；嘉当在他的论文中也解决了这个问题

$^{15}$ 直到接下来，他发现了维数 52 中两个特殊的代数，而他没有注意到同构。（这只是简单复杂李代数的情况，因为此时没有考虑更一般的问题；Killing的方法实际上对于特征0的每个代数闭域都有效）。

因为他在这种情况下使用的特殊单代数; $^{16}$ 方法将在二十年后被他推广到阶以获得简单实数或复数李代数的所有不可约表示。

线性表示的完全可约性的性质似乎是Study首次（在几何形式中）满足的。在一份未发表的手稿中，但在 ([203], v. 3, pp. 785-788) 中引用，他证明了性质对于 $\mathrm{SL}(2, \mathbf{C})$ 的李代数的线性表示，并获得了 $\mathrm{SL}(3, \mathbf{C})$ 和 $\mathrm{SL}(4, \mathbf{C})$ 的部分结果。 Lie 和 Engel 在这种情况下猜想，完全可归约性定理对于 $\mathrm{SL}(n, \mathbf{C})$ 是有效的，无论 $n$ 可能是什么。线性表示半单李代数的完全可约性是由 H. Weyl 在 1925 年 $^{17}$ 通过全局性质的论证建立的（见下文）。第一个代数证明于 1935 年由 Casimir 和 van der Waerden [55] 获得；其他代数证明后来由 R. Brauer [34 b] 和 J. H. C 给出。怀特海[334 b]。

最后，在他的研究关于指数映射的过程中（cf.见下文）。 H. Poincaré ([251], v. III) 考虑所有阶的微分算子的结合代数，由李代数的算子生成；他基本上表明，如果 $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ 是李代数的基，则由 $X_i$ 生成的结合律代数具有基的某些对称函数的 $X_i$ （非交换“单项式”的和）由其因子的所有置换组成的给定单项式）。他的证明的本质部分本质上是代数，并允许他获得包络代数的结构。类似的证明已于 1937 年由 G. Birkhoff [22 b] 和 E. Witt [337 b] 给出。 $^{18}$

上面引用的大部分工作仅限于实数或复数李代数，也就是通常意义上的相应的到李群。 Jacobson [172a] 解决了除 $\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$ 之外的李代数超过域的研究，他表明经典结果中较大的部分在域或特征零上仍然有效。

嘉当观点的 $^{16}$ 点在于研究简单李代数的非平凡李代数扩张和最小维数的（交换）根式。 $^{17}$ H. Weyl 注在这种情况下，不可约表示的 E. Cartan 给出的构造隐含地使用了这个性质。 $^{18}$ $X_i$ 生成的更高阶微分算子的首次使用无疑是对完全约简性定理的证明使用“卡西米尔算子”。 1950 年的之后，Gelfand 和他的学校的研究，以及 Harish-Chandra 的线性表示无限维数，将这些运算符带到了前面秩。

第一个关于指数映射的研究是由E. Study和F. Engel提出的；恩格尔[104 b] 注，对于 $\mathrm{SL}(2, \mathbf{C})$ （对于例 $\begin{pmatrix} -1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ），指数不是满射，如果 $a \neq 0$ 不是指数，但它对于 $\mathrm{GL}(n, \mathbf{C})$ ，因此对于 $\mathrm{PGL}(n, \mathbf{C})$ （后者性质已经被研究注意到） $n = 2$ );因此， $\mathrm{SL}(2, \mathbf{C})$ 和 $\mathrm{PGL}(2, \mathbf{C})$ 给出了两个群的例，它们是局部同构的，但是它们与全局点的视图有很大不同。恩格尔还证明，在其他经典群中，指数是满射的，并通过同位增广； Maurer、Study 和其他人再次开始并继续这项工作，但没有带来实质性的新成果。

1899 年，H. Poincaré（[251]，v. III，第 169-172 和 173-212 页）从不同的点角度研究指数映射。他的回忆录似乎写得仓促，因为在几个地方他断言相连的群的每一个元素都是指数，而他在其他地方给出了例相反。他的结果主要涉及伴随群：他证明这样的群 $G$ 的半单元素可以是李代数 $L(G)$ 的无穷大元素的指数，而非半单元素可能不是一个指数。如果 $\mathrm{ad}(X)$ 没有特征值（ $2\pi i$ 的非零倍数），则exp是 $X$ 中的étale。他还证明，如果 $U$ 和 $V$ 描述了 $L(G)$ 中的循环，并且如果 $W$ 由连续性定义，使得 $e^U . e^V = e^W$ ，我们不一定返回到 $W$ 的初始确定。他使用公式代表剩余类，而约化本质上是为了

\Phi(\mathrm{ad}\, X) = \frac{1}{2\pi i} \int \frac{\Phi(\xi) d\xi}{\xi - \mathrm{ad}\, X}

其中 $\mathrm{ad}(X)$ 是半单元素，其非零特征值具有重数1， $\Phi$ 是具有足够大收敛半径的整个级数，在包围 $\mathrm{ad}\, X$ 的特征值的循环上进行积分；他还研究了当 $X$ 倾向于具有倍数特征值的转变时会发生什么。

在公式 $e^U . e^V = e^W$ 中寻找 $W$ 作为 $U$ 和 $V$ 的函数的表达式已经，有点之前庞加莱的工作，已经成为坎贝尔的两个回忆录的主题[46 a和b]。正如贝克后来所写的那样“......谎言理论以一种明显的方式表明，乘积 $e^U e^V$ 是形式 $e^W$ ，其中 $W$ 是 $U$ 和 $V$ 中的交错的级数......”。关于该主题的后续工作旨在使断言精确，并为 $W$ （“Hausdorff 公式”）给出明确的公式（或构造的方法）。之后 Campbell 和 Poincaré、Pascal、Baker [13] 和 Hausdorff [152 a] 回到这个问题；各自认为前任的证明没有说服力；主要困难在于“交错的”的含义：它是所考虑的特定李代数的元素的情况，还是通用“符号”表达式的情况？坎贝尔、庞加莱和贝克都没有在这个点上明确表达自己的观点。相反，豪斯多夫的回忆录是非常精确的；他首先在有限的不定式数中工作于形式结合（非交换）级数的代数，并将 $U, V, W$ 视为该代数的元素。他通过与前人类似的微分方程论证证明了 $W$ 的存在。他用同样的论证来证明当级数中的不定式被李代数或有限维的元素代替时，级数的收敛性。正如贝克和庞加莱独立所说，这个结果可以用来给出李的第三个定理的证明；他澄清了群和李代数之间的对应，对于例至换位子的群而言。

1947 年，Dynkin [98a] 再次提出这个问题，并通过从一开始就考虑范数李代数（有限维或不是有限维，超过 $\mathbf{R}, \mathbf{C}$ 或超度量域），获得了 Hausdorff 公式的显式系数。 19

VI。线性表示和全球李群。

我们一直在谈论的工作都没有坦率地解决定义的问题和全球李群的研究。这条道路的第一步可以追溯到 H. 韦尔. 他受到两种理论的启发，这两种理论在此之前都是独立发展的：半单复数李代数的线性表示理论，归因于E. 嘉当，以及有限群的线性表示，由于 Frobenius，并且刚刚被 I 转置为正交群。舒尔运用了赫尔维茨的思想。后者展示了[168]如何通过相对于不变测度的积分，通过有限群上平均值的替换运算来构造正交群或酉群的不变量。他还指出，在应用这个方法到酉群，获得了一般线性群的不变量，这是“一元论技巧”的第一个例。 1924年，I。 Schur [279 e] used this procedure to show the complete reducibility of the representations of the orthogonal group $O(n)$ and of the unitary group $U(n)$ , by the construction of a positive non-degenerate invariant hermitian form; he deduces from this, by the "unitarian trick", the complete reducibility of the holomorphic representations of $O(n, \mathbf{C})$ and of $SL(n, \mathbf{C})$ , establishes orthogonality relations for the characters of $O(n)$ and of $U(n)$ and determines the characters of $O(n)$ . H. Weyl 还将扩展这个方法复杂化半单李代数 [331 b]。给定这样的代数 $g$ ，他证明它拥有“真正的紧形式”（相当于说，它来自代数

19 在超度量情况下，由于当 $n$ 趋于无穷大时， $1/n$ 的 $p$ 进数估值会出现渐进行为，因此，如果不采取预防措施，经典的方法就无法扩展。

通过将标量从 $\mathbf{R}$ 扩展到 $\mathbf{C}$ ， $g_0$ 超过 $\mathbf{R}$ ，其伴随物群 $G_0$ 是紧的。此外，他证明 $G_0$ 的基本群是有限的，因此 $G_0$ 的万有覆盖 $^{20}$ 是紧的。由此，他通过对 Schur 过程的适当修改，推导出 $g$ 的表示的完全可约性，并且还通过全局方法给出了 $g$ 的表示的特征标的确定性。在给I的信中。 Schur [331 a]，H. Weyl 总结了 Schur 不知道的 Cartan 的结果（页面底部的cf. [279 e]、p. 299、注），并比较了视图的两个点：Cartan 的方法提供了简单的所有全纯表示连接李代数 $g$ 的群；在正交群的情况下，还获得了两片封面的表示（后来称为旋量群），这是 Schur 没有注意到的；从另一个方面来看，Schur的方法具有证明完全可还原性和显式给出特征标的优点。

之后 H. Weyl、E. Cartan 的著作在其关于对称空间和李群的研究中采用了公开的全局点观点。正是这个点观点，是他在1930年揭露的“有限和连续”理论群（[52 a]，v. I_2，第1165-1225页）的基。特别是发现了第三基本定理的全局变体的第一个证明（给定李代数存在李群）；嘉当还表明，实李群的每个闭子群都是李群，这概括了J. von Neumann关于线性群的闭子群的结果[324 b]。在这个回忆录中，冯·诺依曼还表明，复数半单群的每个连续表示都是实解析的。

之后这部作品，“经典”意义上的李群理论（即有限维超过 $\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$ ）或多或少固定在其主线中。 Pontrjagin 在他的拓扑学著作群 [253] 中首次详细阐述了它；他保持到点的视角仍然与李的视角相当接近，但仔细地区分了局部与全局。接下来是Chevalley的书[62d]，其中包含也是对分析簇理论和外微分演算的第一次系统讨论； Lie 的“无穷小变换”在那里表现为向量的域和李群 $G$ 的李代数与 $G$ 左侧不变的向量的域空间进行识别。他把“群体”方面和“转变的群”方面放在一边。

$^{20}$ H. 外尔并没有明确地定义定义这个概念，自从他起草关于黎曼曲面的讲座（1913）以来，他就很熟悉这个概念。是O。 Schreier [276 a 和 b] 在 1926-1927 年，首次给出了拓扑群的定义和“连续”群的群（即局部同胚于欧氏空间），以及这种拓扑的通用覆盖的构造群。

VII。扩张概念李群。

如今，李理论的生命力体现在其应用的多样性（拓扑、微分几何、算术等）以及并行理论的创建中，其中基础微分簇的结构被相邻的结构（ $p$ -adic、代数簇、模式、形式模式等）取代。我们不需要在这里提供所有这些发展的历史，我们将极限介绍其中的两个：Banach 李群和 $p$ -adic 李群。

a) 巴纳赫李群。

这是李群“无限维”的情况。从局部点来看，欧氏空间中0的邻域被Banach空间中0的邻域替代。这正是 G. Birkhoff 在 1936 年所做的[22 a]，最终得到了*完全规范的李代数* 的概念以及其对应以及在 Banach 空间的开放集合上定义的“groupuscule”。 1950 年左右，Dynkin 在扩张之前完成了 Hausdorff 公式案例的这些结果（cf. 同上）。

定义以及 Birkhoff 和 Dynkin 的结果是局部的。直到最近几天，似乎还没有尝试明确提出相应的全局理论，这无疑是因为缺乏应用。

b) $p$ -adic 李群。

这样的群于1907年在Hensel [157 e]关于 $p$ 进数解析函数（由整个级数中的展开定义）的工作中首次得到满足。他特别研究指数和对数。尽管级数的*先验*令人惊讶的行为定义（对于例，指数级数并非处处收敛），它们的函数属性仍然有效，这在加法群和乘法群之间提供了 $\mathbf{Q}_p$ （或者更一般地，每个完整的超度量）的*局部同构* 域特征零）。

A. Weil [330 a] 和 E. Lutz [210] 在椭圆 $p$ -adic 曲线 (1936) 上的工作同样涉及交换群（但这次不是线性的）。除了算术应用之外，基于不变微分形式的积分，还可以找到群的局部同构与加法群的构造。正如不久之后C所说，这个方法同样适用于阿贝尔的品种。 Chabauty 在阶中使用它而不做任何更多解释来证明“莫德尔猜想”的一个特殊情况[61]。

从这一刻起，很明显，李群的局部理论几乎可以在没有变换的情况下应用于 $p$ -adic情况。 “字典”李群的基本定理——李代数是在 1942 年 Chevalley 的学生 R. Hooke [166] 的论文中建立的；这项工作包含也是E.Cartan的定理在实李群的封闭子群上的 $p$ -adic类似物。

最近，M. Lazard [195 b] 开发了一个更精确的形式的“字典”，用于在 $\mathbf{Q}_p$ 上进行紧凑分析群。他证明了紧致群 $G$ 上解析 $p$ 进结构的存在与 $G$ 上某些过滤的存在紧密相关，并给出了它的各种应用（对于 $G$ 的例到上同调）。 Lazard 的工具之一是 Dynkin 在 $p$ -adic Hausdorff 级数收敛上的结果的改进 [195 a]。

VIII。免费李代数。

我们仍然需要谈论 李代数 的作品中的级数，其中与李群理论的联系非常脆弱；另一方面，这些研究在“抽象”群，尤其是幂零群理论中具有重要的应用。

这个起源是 P. Hall [144] 的工作，发表于 1932 年。然而，不存在李代数的问题：P. Hall 着眼于研究 $p$ 群中的某个类，他称之为“常规”群。但这导致他详细检查迭代的换位子和群的下部中央级数；他在这次场合建立了雅可比恒等式的变体，以及“Hall 公式”

(xy)^n = x^n y^n (x, y)^{n(n-1)/2} \ldots

很快之后（1935-1937 年）W. Magnus [215 a 和 b] 和 E. Witt [337 b] 的基础著作出现。在[215a]中，马格努斯使用与豪斯多夫相同的形式级数 $\hat{A}$ 的代数（自称为“马格努斯代数”）；他将自由的群 $F$ 嵌入其中，利用 $\hat{A}$ 在阶中的自然过滤得到 $F$ 的子群的递减序列 $(F_n)$ ；它是*过滤*的第一个例之一。他推测 $F_n$ 重合与 $F$ 的下中央级数的项。这个猜想在他的第二个回忆录[215b]中得到了证明；也正是在那里，他明确地将自己的想法与 P. Hall 的想法联系起来，并且他的定义自由的李代数 $L$ （作为 $A$ 的子代数）在实质上表明它与分级的 $F$ 相同。在[337 b]中，Witt 在几个点上完成了这个结果。他特别表明， $L$ 的包络代数是一个自由结合律代数，并从中立即推导出 $L$ 齐次分量的秩（“Witt 公式”）。

至于被称为“Hall 基”的基或 $L$ 的确定，似乎只在1950年首次出现，即M. Hall的注[143]，尽管它在上面引用的P. Hall和W. Magnus的著作中是隐含的。