Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

26. 群由反射产生； 根系。

群在此考虑注出现在与几何的各种问题有关，数学分析和李群的理论，有时在置换群的形式，有时在群的位移中欧氏或双曲几何，这些不同的点视图直到最近才得到协调。

从历史上看，该理论的起源比群概念的引入要早得多：它确实起源于对几何图形的“正则性”或“对称性”的研究，特别是正多边形和多面体的确定（无疑可以追溯到毕达哥拉斯学派），这是欧几里得的元素的最高成就，也是欧几里得最令人钦佩的创造之一。希腊天才。后来，特别是中世纪盛期的阿拉伯作家，然后是开普勒，出现了由对（但不一定是规则的）全等多边形对平面或球体进行规则“平铺”的数学理论的开端，这无疑与古代和阿拉伯文明所想到的不同装饰型的起源有关（可以有充分的理由将其视为数学发展的真实部分）由这些文明[291]）。

到 1830-1840 年，晶体学研究（Hessel、Bravais、Möbius）导致考虑问题，这正是确定 3 维数欧氏空间位移的有限群，尽管上面引用的作者尚未使用群理论的语言；后者直到 1860 年左右才开始使用，正是在群分类的背景下，约旦于 1869 年 [174 b]，确定 $\mathbf{R}^3$ 中位移的离散子群保持了方向（更一般地说，群的位移保持方向的所有闭合子群）。

直到十九世纪末，这一思想流向多个方向发展，其中最显着的如下：

1. 符合有限群理论中很早就出现的趋势，寻求通过生成元和关系位移的简单型的有限群“表示”。因此，汉密尔顿早在 1856 年 [145 b] 就证明了欧氏空间中的旋转有限群

R$^3$由两个生成元$S, T$通过关系$S^p = T^q = (ST)^3 = 1$链接生成，用于$p$和$q$的适当值。

2. 离散位移群可能会也可能不会包含 反射。早在 1852 年，莫比乌斯确定就已占球面几何中*由反射*生成的位移的有限群（相当于 $\mathbf{R}^3$ 中欧氏位移的有限群的问题）；他发现，除了循环群之外，这样的群具有作为基本域的球面三角形，其角度为形式$\pi/p, \pi/q, \pi/r$，其中$p, q, r$是三个整数> 1，使得$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$（[223]，v.II，第17页） 349-360 和 561-708 页）。他还注意到这些群包含所有有限群的位移都是子群。

3. 继黎曼和施瓦茨关于超几何函数和共形表示的工作之后，最后的思想流得到了新的放大，开始研究通过圆弧所包围的图形对复平面或半平面进行“平铺”；克莱因和庞加莱将其作为“自守函数”理论的基础，并在其中认识到（对于与固定直线正交的圆弧的情况）问题等价于寻找非欧几里得双曲平面（用“庞加莱半平面”标识）位移的群的离散子群。 [118]。

4. Schlafli 的工作可追溯到 1850 年的邻域，将正多面体的概念和此类多面体对 $\mathbf{R}^3$ 的平铺扩展到所有欧氏空间 $\mathbf{R}^n$，但直到很晚才发表并在很长一段时间内被忽视（[273]，v.1）。 I，第 167-387 页）；他确定完全是每个$\mathbf{R}^n$、群位移中的规则“多面体”，留下不变的这样一个多面体，以及这个群的基本域，就像莫比乌斯研究的$n = 3$情况一样，它是一个“房间”，其在球体$S_{n-1}$上的轨迹是一个球形单纯形。然而，他并没有解决搜索由$\mathbf{R}^n$中的反射产生的有限位移群的逆问题问题；这个问题只能在很久以后由Goursat [132]解决$n = 4$，而对于任意的$n$，它的解将不得不等待E. Cartan ([52 a], v. I_2, pp. 1003-1020)和Coxeter [70 c]的工作，我们稍后会返回上。

1890 年左右，随着第一部作品《杀戮》和《嘉当》李群，开始了一系列新的想法，这些想法将在很长一段时间内发展，与之前的作品无关。 Killing [180] 和 Cartan ([52 a], v. I_1, pp. 137-287)，在他们对复杂半单李代数的结构的研究中，将直接为某些线性形式 $\omega_\alpha$ 在“Cartan sub 代数”上规划一个原始角色李代数 $\mathfrak{g}$ 中的$\mathfrak{h}$；它们是相对于 $\mathfrak{h}$ 的“根”，之所以这样称呼，是因为在 Killing 中它们表现为特征方程 $\det(\operatorname{ad}_\mathfrak{g}(x) - T) = 0$ 的根，被视为 $x \in \mathfrak{h}$ 的函数。 Killing 和 Cartan 约化建立的这些“根”的性质，证实了，在实际的几何语言中，它们形式是“根的系统约化”；

然后他们表明，复合体半单李代数的分类被简化为相关的“根的系统”，其本身约化可以确定具有整数系数的某些矩阵（后来称为“嘉当矩阵”）。 Killing 和 Cartan 还证明，对于每一个根 $\omega_\alpha$，存在置换 $S_\alpha$ 集合根；他们以基本方式使用与 $l$ 根相关的 $C = S_{\alpha_1} S_{\alpha_2} \ldots S_{\alpha_l}$、乘积置换构成基本系统（今天称为“考克塞特变换”的变换）；他们甚至将扩展这个置换转化为基本根$\omega_{\alpha_i} (1 \leq i \leq l)$生成的向量空间的线性变换，并研究它的特征值([180],II,p. 20; [52a]，v. I_1，p. 58）。 但无论是Killing，还是最初的嘉当，似乎都没有想到考虑由$S_\alpha$生成的群$G'$；稍后，当嘉当（[52 a]，v. I_1, pp. 293-353), 特征方程确定伽罗瓦群 $G$

“将军元素”$x \in \mathfrak{h}$，他首先研究它，没有引入$S_\alpha$；三十年后，在 H. Weyl 工作的影响下，他证明了 ([52 a], v. I_1, pp. 555-568) $G$ 在所有情况下都具有正常的子群群 $G'$ 和确定结构或商群 $G/G'$（对于单代数$g$）是或阶1或2，除了型$D_4$，它与$S_3$同构的；也正是在这个场合，他将$G'$解释为由半单李代数的复数内自同构引发的群，留下固定的嘉当子代数。

我们刚才提到的 H. Weyl 的工作开创了群 $G'$ 的几何解释（此后被称为 $g$ 的“Weyl 群”）；就像基林和嘉当对$C$所做的那样，他有将$S_\alpha$视为线性形式在$\mathfrak{h}$上的向量空间的反射的想法。也在 H. Weyl [331 b] 的回忆录中看到“仿射 Weyl 群”的基本域出现（除了与“Weyl 群”$G'$ 的链接之外，没有明确指出）；外尔在阶中使用它来证明紧致半单群的基本群是有限的，这是他的证明复数半单李代数的线性表示完全可约性中的关键点。很快，之后，E.嘉当就实现了 H. Weyl 的全局点、他自己的实数或复数理论半单李代数，以及他当时正在建立的对称黎曼理论空间的综合。在回忆录 ([52 a], v. I_2, pp. 793-840)中，他完成了Weyl 群和仿射Weyl 群的基本多胞形的确定，并引入了权系统和根式权系统；他将扩展这个讨论对称空间，因此特别满足非约化根系的第一个例（[52a]，v.I_2，第1003-1010页）。最后，文章 ([52 a], v. I_2, pp. 867-989) 给出了第一个证明的事实，即由 $\mathbf{R}^n$ 中的反射生成且不可约的每个有限群都具有一个基本域，该基本域在 $S_{n-1}$ 上有迹，是一个球形单纯形；正是在这项工作中，他通过几何考虑证明了最大的根的唯一性（根据根的系统的任意字典顺序）。

稍后，van der Waerden [317 b] 依靠 H. Weyl 的回忆录，表明复杂的半单李代数的分类相当于约化根系的分类，他是通过基本几何考虑进行的（而对于 Killing 和 Cartan，这种分类是行列式复杂计算的结果）。大约在同一时间，Coxeter 确定显式地给出了由反射产生的欧氏位移的所有有限不可约群 [70 c]；因此，他完成了 E. Cartan 的回忆录（[52 a]，v. I_2，第 793-840 页）的结果，E. Cartan 只确定了“晶体学”群（即与根系相关，或者也容易嵌入到无限离散的群位移中）。接下来的一年[70 d]，Coxeter表明，由反射生成的有限群是唯一承认由内卷生成元$R_i$呈现的有限群（最多同构），受形式$(R_i R_j)^{m_{ij}} = 1$（$m_{ij}$）的关系影响整数），从而“Coxeter 群”的名称自群（有限与否）承认这样的演示。

我们上面描述的研究两个流之间的第一个链接似乎是由 Coxeter [70 e] 建立的，然后是由 Witt [337 c] 建立的。他们注意到，由反射对应双射（最多同构）到复杂的简单李代数产生的欧氏位移的无限不可约群。 Witt 通过表征 Coxeter 群同构于欧氏位移的无限离散群，给出了该型的离散群和扩展以及 Coxeter [70 d] 的定理的新确定。这一结果，以及双曲几何中类似的群也是 Coxeter 群、$^1$ 的事实，导致了对后者研究的公开解决，首先将重点放在几何实现上（[71]，[308 a]），然后在纯代数框架中遵循 J. Tits [308 b 和 c]。

从维特的工作开始，半单李群的理论和由反射产生的离散群的理论将不断地相互产生极其富有成效的反应。 早在 1941 年，Stiefel [296] 注就认为 Weyl 群正是由反射生成的有限群，并且使网络保持不变。 Chevalley [62 e] and Harish-Chandra [149 a] give in 1948-51 proofs a priori of the bijective correspondence between "crystallographic" groups and complex semisimple Lie algebras; it was not possible until then to verify separately this correspondence for each type of simple Lie algebra.

另一方面，在 1950 年左右，人们注意到 Weyl 群下的多项式不变量在无穷维数的线性表示理论[149 a]和李群的拓扑理论中发挥着重要作用。

$^1$ 这些群，在维数 2 的情况下进行了深入研究，直到最近几年才在维数 $\geq 3$ 中被考虑到。

Coxeter [70 g] 则再次开始研究由反射生成的有限群 $W$ 基本反射的变换 $C$、乘积，注意到（通过对每个型的单独检查）$W$ 下不变的多项式的代数是由下式生成的：代数独立的元素，其次数以简单的方式与 $C$ 的特征值连接。这些结果的证明*先验*随后由 Chevalley [62 f] 给出第一个结果，由 Coleman [68] 和 Steinberg [292] 给出第二个结果。

随着 A. Borel 对线性代数群 [30] 的工作，李群理论开始有了新的发展，这导致了后者的显着扩展。 A. Borel 提出了李群中最大连通可溶子群（自称为“Borel 子群”）的重要性，并使其成为将经典理论的大量部分转换为代数闭域代数群的主要工具（但尚未获得简单代数的分类） 群$^2$）。 Borel 子群（在实数或复数经典群的情况下）已经在几年前出现在Gelfand和Neumark关于无限维数的表示的工作中； 1954 年，F. Bruhat 发现了一个值得注意的事实，即对于经典简单群，群的分解到 Borel 群上的双陪集，可以通过 Weyl 群以规范的方式索引[40]。该结果随后被 Harish-Chandra [149 b] 扩展到所有实数和复数半单群。另一方面，1955 年，Chevalley [62 g] 成功地将每个复数半单李代数 $\mathfrak{g}$ 以及*每个* 交换域 $k$、矩阵的群与$k$ 中的系数关联起来，拥有布鲁哈特分解；他用最后一个事实来表明，除了少数数例外，这样定义的群是“简单的”（在抽象群理论的意义上）。因此，他“解释”了自 Jordan 和 Lie 以来就已经注意到的型 $A, B, C, D$ 的简单李群（在李群的理论意义上）与在任意域上以纯代数方式定义的经典简单群之间的巧合（这种巧合在此之前无法扩展到例外情况） Dickson 的型 $G_2$ 和 $E_6$ [88 c 和 d]）。特别是，通过采用Chevalley提供的*有限* 域 $k$、构造，对于复杂简单李代数的每个型，一系列*有限*简单群、包含当时已知的有限简单的一大部分群，以及三个新的级数（简单的李代数$F_4, E_7$和$E_8$的相应的到型）。很快之后，通过各种程序，使用Chevalley的方法的修改，几位作者（Hertzig，Suzuki，Ree，Steinberg和Tits）一方面表明，可以以类似的方式获得当时已知的其他有限简单群，除了al-

$^2$ 维数 $> 0$ 的代数群被称为“简单”（在代数几何的意义上），如果它不包含维数 $> 0$ 的任何正常代数子群除了其自身之外。如果它与简单非交换群的乘积同构，则称其为*半单*。

交替群和Mathieu群，另一方面构造新的有限简单群的其他级数（cf.[54]）。

几乎在同一时间，Chevalley[62h]仍然沿用Bruhat分解的技术，结合Borel子群归一化器的一个关键结果，再次开始了线性代数群的研究，并得出了在任意特征的代数闭域$k$上，半单线性代数的理论群$^3$ 本质上与$k = \mathbf{C}$ 的 Killing-Cartan 分类中相同的型相同。接下来，J. Tits [308 a 和 b]，分析了 Chevalley 的方法，得出了 Bruhat 分解的公理化版本（“BN 对”），在一个非常灵活的形式中，只引入了群的结构；正是这个概念目前被称为“Tits 系统”。我们上面谈到的所有简单的群（在字的各种含义中）都被规范地提供了Tits系统，并且Tits本人[308c]已经证明了这样的系统在抽象群$G$中的存在，并与纯的一些补充属性相关联群理论，允许证明认为$G$是*简单的*，定理涵盖了迄今为止为这些群给出的证明简单性的大部分。另一方面，他与 A. Borel 合作，推广了 Chevalley [62 h] 的结果，通过证明在*任意* 域上半单线性代数群的有理点的群中存在Tits系统[31]。

这些问题中出现的所有 Tits 系统都有有限的 Weyl 群。 例的另一个范畴是由Iwahori和Matsumoto发现的[170]；他们证明，如果在 Chevalley 的构造 [62 g] 中，$k$ 是$p$-adic 域，则获得的群具有 Tits 系统，其 Weyl 群是复数的*仿射* Weyl 群从半单李代数开始。这个结果刚刚被 Bruhat 和 Tits [41] 扩展到局部域上的所有半单代数群。

$^3$ 特征$p > 0$ 的域存在大量“病态”简单李代数，这可能导致一些人怀疑Killing-Cartan 分类的普遍性特征标。