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历史注记

（注：罗马数字指的是注末尾的参考书目。）

两个正数的算术平均值和几何平均值的概念可以追溯到古代，特别是毕达哥拉斯学派将它们作为他们最喜欢的主题之一。这些手段之间的不等式 $\sqrt{ab} \leq \frac{1}{2}(a + b)$ 也可能是他们所熟知的；无论如何，它是由欧几里得证明的，与最大化两个数（其和给定）的乘积的问题有关。显然，人们必须等到 1729 年相当晚的日期才能找到麦克劳林明确提到的推广、问题到 $n$ 数，以及相应的不等式（而且这个，甚至虽然更困难的极值问题早已得到解决）之前）。

从 18 世纪末开始，其他类似的不等式就出现在数学分析和几何中。因此，1789 年，Lhuilier 解决了与不等式相关的几何最大值问题

\sqrt{\left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 + \left( \sum_{k=1}^n b_k \right)^2} \leq \sum_{k=1}^n \sqrt{a_k^2 + b_k^2};

柯西于 1821 年证明了特殊情况

\left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n a_k^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right)

Hölder 的不等式； 1859 年的 Buniakowsky 和 1885 年的 H. A. Schwarz 将柯西的不等式推广到积分。

然而，直到19世纪末，凸性不等式才成为系统研究的对象。 O. Hölder 在 1888 年（I）产生了将单个变量的凸函数引入到问题中的想法：从而得到了以 $\log x$ 的凹性为起点的几何平均值的不等式；应用与函数 $x^r$ 同样的想法，他证明了不等式以他的名字命名，并且一年前已经被L发现了。 J. Rogers 从几何平均值的不等式开始（cf. Exer. 4）。至于闵可夫斯基的不等式，后者在1896年证明了这一点（对于有限的和），结合他关于“数的几何”的令人难忘的著作（（II），第115-117页）；然而，虽然凸性的思想（对于任何数变量的函数）是这项工作的基本概念之一，但令人惊讶的是，闵可夫斯基没有注意到他的不等式可以通过霍尔德的方法应用于 $(1 + x^r)^{1/r}$ 来获得（他将自己限制为应用经典方法用于通过无穷小演算求极值）。

为了更深入地研究凸性不等式及其应用，读者可以查阅 Hardy、Littlewood 和 Pólya 专门讨论该问题的书，这也是包含非常完整的参考书目（III）。

(I) O. Hölder，Ueber einen Mittelwertsatz，Göttinger Nachrichten (1889)，第 38-47 页。

(II) H. Minkowski，《Geometrie der Zahlen》，第 2 期。编辑，莱比锡-柏林（Teubner），1910 年。

(III) G. H. Hardy、J. E. Littlewood、G. Pólya，《不平等》，剑桥（大学出版社），1934 年。