习题 4, § 2

设 A 为不可数集合。在集合 $\mathfrak{P}(A)$ 中，考虑关系 « M$\cap \mathbf{C} N$ 和 $N \cap \mathbf{C} M$ 是可数的 » 在 M 和 N 之间；表明这是等价关系，与包含关系$M \subset M'$（S，III, §1，Exer.2）弱兼容。对于这个等价关系，令B为$\mathfrak{P}(A)$的商集；表明在 B 上，通过商的包含关系推导出关系是序关系，其中 B 是布尔值代数（loc. cit, Exer. 17）。我们知道（GT，II, §4，Exer.12），在由子集形成的布尔值代数上，存在B的阶结构同构，它们在完全不连通的紧致空间X中既开又闭。证明如果 U 在 X 中是非空开集合，则存在 U 的不可数成对不相交的非空开子集 $V_\alpha$ 族（利用不可数集合承认不可数的事实划分由……组成不可数的集合）。由此推论X上的每一个测度都没有密集的支持。