习题 5, § 1

设X为由线$D = \{0\} \times \mathbf{R}$的并和点$(1/n, k/n^2)$的集合形成的平面$\mathbf{R}^2$的子集，其中$n$越过整数的集合 $> 0$，以及$k$超过有理整数的集合$\mathbf{Z}$。

a) 对于 D 的每个点 $(0, y)$ 和每个整数 $n > 0$，令 $T_n(y)$ 为 X 中点 $(u, v)$ 的集合，使得 $u \leq 1/n$ 和 $|v - y| \leq u$。证明如果将 $T_n(y)$ ($n > 0$) 的 D 集合中每个点 $(0, y)$ 的邻域系统作为基本邻域系统，并以X 的其他点每个邻域的基本系统则唯一集合减少为点，X拓扑$\mathscr{T}$上的一个定义，其中X是局部紧致的空间，不是仿紧致的。

b) 令$\alpha$为X上的数值函数，其在D上等于0并且在点$(1/n, k/n^2)$中等于$1/n^3$。证明，对于 X 的每个紧致子集 K，$\sum_{x \in K} \alpha(x)$ 是有限的；令$\mu$为群众$\alpha(x)$定义的X的正测度。证明 D 上有 $\mu^*(D) = +\infty$ 偶数虽然 $\alpha(x) = 0$。（如果对 $\mathscr{T}$ 包含 D 有一个开集合 U，证明 D 上存在一个区间 $a \leq y \leq b$ 不减少到点，集合 B 在这个区间是稠密的（对于通常的情况） $\mathbf{R}$的拓扑），以及整数$n > 0$，这样，对于每个$y \in B$，一个人有$T_n(y) \subset U$；为此，可以使用Baire的定理。）