习题 7, § 1

a) 设$(\mu_n)$为局部紧凑空间X上措施$\geq 0$的递增序列；假设序列在 $\mathscr{M}_+(X)$ 中有界，并用 $\mu$ 表示其上界。令 $f$ 为函数 $\geq 0$，定义在 X 和零上，在紧集的可数并的补集上。证明 $\mu^*(f) = \sup_n \mu_n^*(f)$ (cf. Exer. 6 b))。

b) 令 X 和 $\mu$ 为局部紧致空间和 Exer 中定义的测度。 5. 令$\alpha_n$为对于每个点$(1/m, k/m^2)$等于$\alpha$（在Exer.5的记号中）的数值函数，使得$m \leq n$，并且在X的另一个点等于0；令 $\mu_n$ 为质量 $\alpha_n(x)$ 定义的度量。 证明 $\mu$ 是 $\mathscr{M}_+(X)$ 中序列 $(\mu_n)$ 的至高无上，并且 $\mu_n^*(D) = 0$ 对于所有 $n$，但$\mu^*(D) = +\infty$。