习题 10, § 4

a) 令$\mathscr{E}$为Riesz空间，$\mu$为$\mathscr{E}$上的正线性形式，使得关系$\mu(|x|) = 0$蕴涵$x = 0$；那么$\mu(|x|)$就是$\mathscr{E}$上的范数，让我们假设配备了这个范数的$\mathscr{E}$是*完整的*。由此可见 $\mathscr{E}$ 是完全晶格有序的（Ch. II, §2，Exer. 8 e)）。因而（Ch. II, §1，Exers. 12 和 13）存在紧致 Stone 空间族 $(K_\alpha)$ 的局部紧致空间 $X$、和，使得 $\mathscr{E}$ 同构于连续数值的空间函数（有限与否）在 $X$ 包含空间 $\mathscr{H}(X)$。将$\mathscr{E}$与空间、$\mu$到$\mathscr{H}(X)$的限制进行识别，那么就是对$X$的积极措施。证明 $\mathscr{E}$ 与空间 $L^1(\mu)$ 自然同构；更准确地说，对于$X$上定义的每个$\mu$可积函数$g$，存在且仅有一个函数$f \in \mathscr{E}$相当于测度$\mu$的$g$（注即每个元素$\geq 0$） $\mathscr{E}$是$\mathscr{H}(X)$的元素的递增序列的上界，并且$\mathscr{H}(X)$在$\mathscr{L}^1(\mu)$是稠密的）。

b) 从a)推导出，对于每个紧致空间$K$，都存在一个局部紧致空间$S$，一族紧致Stone空间的拓扑和，以及$S$上的正测度$\nu$，支持度等于$S$，使得$K$上的测度的完全格序空间$\mathscr{M}(K)$，配备范数$\| \mu \|$，与$\mathscr{L}^1(\nu)$同构的（考虑$\mathscr{M}(K)$上的线性形式$\mu \mapsto \mu(K)$）。