习题 12, § 4

令 $X$ 为 Hausdorff 拓扑空间。对于由紧集 $K$ 和$X$ 中的开集合 $U$ 形成的每个对 $(K, U)$，令$I(K, U)$ 为子集 $M \subset X$ 的集合，使得$K \subset M \subset U$，并且令$\mathscr{T}$为$\mathfrak{P}(X)$上的拓扑，由$\mathfrak{P}(X)$的子集$I(K, U)$的集合生成。

a) 证明集合$I(K, U)$在$\mathfrak{P}(X)$中既开又闭；由此推断，$\mathfrak{P}(X)$配备拓扑$\mathscr{T}$，是一个完全正则且完全不连通的空间。

b) 为了使$\mathfrak{P}(X)$的映射$M \mapsto \mathbf{C}M$自身连续（对于拓扑$\mathscr{T}$），$X$是紧的是必要且充分的。

c) 取$X$为$\mathbf{R}$的区间$[0,1]$。证明$\mathfrak{P}(X) \times \mathfrak{P}(X)$到$\mathfrak{P}(X)$的映射$(M,N) \mapsto M \cup N$和$(M,N) \mapsto M \cap N$对于拓扑$\mathscr{T}$不连续。

d) 假设 $X$ 是局部紧致的。证明$X$的紧致子集的集合上的$\mathscr{T}$诱导的拓扑比通过Exer程序从$X$上的均匀结构推导出来的拓扑要大更细。 GT 5，II, §1；这两个拓扑不能相同除非 $X$ 是离散的空间。