习题 16, § 4

令$X$为完全正则空间，并令$\mathscr{C}(X)$（或$\mathscr{C}^b(X)$）为$X$上连续（或连续且有界）数值函数的Riesz 空间。

a) 证明如果$\mathscr{C}(X)$上的线性形式$\lambda$对于紧收敛的拓扑是连续的，那么它是相对有界的。

b) 令 $\lambda$ 为 $\mathscr{C}(X)$ 上的正线性形式。证明如果$\lambda$在$\mathscr{C}^b(X)$上是零，那么它在$\mathscr{C}(X)$上是零（让$\varphi$是$\mathscr{C}(X)$的典范映射到商Riesz空间$\mathscr{C}(X)/\mathscr{C}^b(X)$（第1章） II, §1，Exer 4)；证明如果 $h$ 是连续的函数 $\geqslant 0$ 并且不受 $X$ 限制，则对于每个整数 $n > 0$，$n \varphi(h) \leqslant \varphi(h^2)$）。

c) 令$\beta X$为$X$的Stone-Čech紧致化，通过为$X$配备最粗均匀结构（其中$\mathscr{C}^b(X)$中的函数是均匀连续的）并通过完成如此获得的均匀空间而获得紧致空间；然后，每个函数$f \in \mathscr{C}(X)$可以通过连续性扩展到$\beta X$上的连续函数$\widetilde{f}$，并且可能无限值（考虑$f/(1+|f|)$）。如果$\lambda$是$\mathscr{C}(X)$上的正线性形式，则$\lambda$到$\mathscr{C}^b(X)$的限制是形式$f \mapsto \mu(\widetilde{f})$，其中$\mu$是$\beta X$上的正测度；表明对于每个函数$f \in \mathscr{C}(X)$，$\widetilde{f}$对于$\mu$和$\lambda(f) = \mu(\widetilde{f})$是可积的（利用$b$），注意到每个函数$\geqslant 0$属于到$\mathscr{C}(X)$是上包络线$\mathscr{C}^b(X)$中的函数中的序列。

d) 证明$\mu$的支持度不属于到$X$的每一个点$x_0$都有以下性质：对于$x_0$邻域的每个递减序列$(V_n)$，交 $V_n$ 包含于 $X$ 中至少一个点。 逆命题。

e) 从 d) 推导出，如果 $X$ 是局部紧致且在无穷大可数，则 $\mu$ 的支持度包含在 $X$ 中（与 h) 比较）。

f) 如果$X$是离散的，则表明$\mu$的支持是有限的（在相反的情况下，形式函数$f \geqslant 0$定义在$X$上，使得$\widetilde{f}$不是$\mu$可积）。

g) 证明如果$\mathscr{C}(X)$上的线性形式$\lambda$对于紧致收敛的拓扑是正的且连续的，则$\mu$的支持包含在$X$中（cf.第III, §2, No. 3，第11条命题）。

h) 设 $X_0$ 为紧致空间，通过将点在无穷大$\omega$ 与 GT、I, §9、Exer 中定义的局部紧致空间 $X$ 邻接而获得。 11、设$Y$为由整数$\geqslant 0$和$+\infty$构成的$\overline{\mathbf{R}}$的子空间，并令$Z$为乘积中与点$(\omega, +\infty)$互补的局部紧凑空间空间$X_0 \times Y$。证明 $Z$ 上的每个连续数值函数都是有界的，并且当 $z$ 在 $Z$ 的无穷大 $(\omega, +\infty)$ 处趋向于点时，$f(z)$ 趋向于极限。由此推论，如果$\mu$是$Z$上的度量，由每个$n \geqslant 0$放置在点$(\omega, n)$处的质量$1/2^n$定义，则$Z$上的每个连续函数都是$\mu$可积，但支持$\mu$ 不是紧的。