习题 19, § 4

在$\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$的紧致子集上为$\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$配备紧致收敛的拓扑，并为$\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$配备一致收敛的拓扑。设$\mathscr{S}$为$\mathscr{C}(X; \mathbf{C})$的紧凑子集的集合；证明$\mathscr{C}(X; \mathbf{C}) \times \mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$到$\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$的双线性映射$(g, \mu) \mapsto g \cdot \mu$是$\mathscr{S}$低连续的。令$\mathscr{T}$为$\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$有界子集的集合；证明如果 X 是仿紧致的，则前面的双线性映射也是 $\mathscr{T}$ 次连续的；当 X 不再被假定为仿紧时，后者性质是否再次成立（Exer. 17）？