习题 20, § 4

令 X, Y 为两个仿紧致局部紧致空间。为空间$\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$和$\mathscr{C}'(Y; \mathbf{C})$配备紧收敛的拓扑。 a) 证明当$\mathscr{C}'(X \times Y; \mathbf{C})$配备紧收敛的拓扑时，映射$(\mu, \nu) \mapsto \mu \otimes \nu$是$(\mathscr{S}, \mathscr{T})$-次连续的，其中$\mathscr{S}$表示$\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$和$\mathscr{T}$有界子集的集合 $\mathscr{C}'(Y; \mathbf{C})$ 的有界子集的集合（利用 Exer.18 b））。 b) 证明当X和Y在无穷大可数且$\mathscr{C}'(X \times Y; \mathbf{C})$具备紧收敛的拓扑时，映射$(\mu, \nu) \mapsto \mu \otimes \nu$是连续的。 （受第 III, §4 章 Exer. 3 的证明的启发，并在 X（分别 Y）中引入单位元的连续划分从属于局部有限开覆盖，如 TVS、II, §4、Exer. 9 a) 中所述。） c) 如果X是离散的，空间$\mathscr{C}'(X; \mathbf{C})$可以用直和空间$\mathbf{C}^{(X)}$来识别，配备最细的局部凸拓扑。由此推导出例，其中X和Y是离散的，X不可数，并且当$\mathscr{C}'(X \times Y; \mathbf{C})$配备模糊拓扑时，映射$(\mu, \nu) \mapsto \mu \otimes \nu$不连续（cf.TVS，II, §4，Exer。 9b))。