习题 5, § 4

令 $\mu$ 为局部紧凑空间 $X$ 的正测度。对于每个数字函数 $f$（有限或非有限），无论其符号如何，在 $X$ 上定义，我们用 $\mu^*(f)$（并称为 $f$ 的上积分）表示数 $\mu(h)$ 对于函数 $h \geq f$ 的可积且较低的下确界当函数存在时是半连续的，反之则为$+\infty$；这个定义重合与$f \geq 0$时的§1, No. 3。我们记为$\mu_*(f)$，称$f$、数$-\mu^*(-f)$的下积分。

a) 证明如果$f_1$和$f_2$是两个数值函数，使得$f_1(x) \leq f_2(x)$几乎无处不在，那么$\mu^*(f_1) \leq \mu^*(f_2)$。

b) 令$f_1$和$f_2$为两个数值函数，从而定义$\mu^*(f_1) + \mu^*(f_2)$和$< +\infty$；表明 $f_1(x) + f_2(x)$ 几乎在任何地方都被定义，并且 $\mu^*(f_1 + f_2) \leq \mu^*(f_1) + \mu^*(f_2)$ （约化对于每个点处有 $f_1(x) < +\infty$ 和 $f_2(x) < +\infty$ 的情况，在 a) 的帮助下）。

c) 如果$(f_n)$是数值函数的递增序列，使得$\mu^*(f_n) > -\infty$从指标开始，则显示$\mu^*(\sup_n f_n) = \sup_n \mu^*(f_n)$。