习题 8, § 4

If the torus $T = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$ is canonically identified with the interval $[0, 1[$ of $\mathbf{R}$, the Lebesgue measure $\mu$ on this interval is a measure on $T$; for every set $A \subset T$ and every $z \in T$, $\mu^*(A + z) = \mu^*(A)$.

a) 证明$T$存在子群$H_0$使得集合$H_n = r_n + H_0$，其中$r_n$超过$[0, 1[$、形式划分中包含的有理数的集合 $T$（将$\mathbf{R}$视为向量空间超过$\mathbf{Q}$，注在$\mathbf{R}$子空间$\mathbf{Q}$承认补充）。

b) 设$H$为集合，即集合$H_n$的任意有限数的并；证明$H$不可积，$\mu_*(H) = 0$（注由元素的有限数生成的加法群$\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$的每个子群在$\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$中都有无限的指标；由此推导出存在将 $T$ 的划分转换为集合 $P_n$ 的可数无穷大，其中每个包含集合形式 $z + H$）。

c) Deduce from b) an example of a decreasing sequence $(A_n)$ of subsets of $T$, whose intersection is empty, and is such that $\mu^*(A_n) = 1$ for all $n$.

d) 设$A$是可积的集合，使得$H_0 \subset A$和$\mu(A) = \mu^*(H_0) > 0$；表明，对于$B$的每个可积集合$B \subset A$、集合$B_1 = B \cap H_0$和$B_2 = B \cap \mathbf{C}H_0$形式划分，使得$\mu^*(B_1) = \mu^*(B_2) = \mu(B)$和$\mu_*(B_1) = \mu_*(B_2) = 0$（利用Exer.7 b））。