习题 3, § 7

令X为非空紧空间，X上下半连续数值函数的$\mathscr{P}$集合，在$]-\infty, +\infty]$中取值；假设 $\mathscr{P}$ 包含为有限常数。如果测量$\varepsilon_x$对于前序关系$\mu \prec \nu$[^1]来说是*最小*，则点$x \in X$被称为$\mathscr{P}$-*极值*； $\mathscr{P}$极值点的集合表示为$\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$。

a) 证明如果$\mathscr{P}$中$\mathscr{P}'$是线性组合的集合、函数的$\sum_i c_i h_i$且系数为$\geqslant 0$，则$\mathscr{P}$极值点与$\mathscr{P}'$极值相同点。

b) 对于点 $x \in X$，证明以下条件是等价的： α) $x$ 是$\mathscr{P}$-极值。 β) 对于每个函数$f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$和每个$\varepsilon > 0$，都存在一个$h \in \mathscr{P}'$使得$f \leqslant h$和$h(x) \leqslant f(x) + \varepsilon$。 γ) 对于$x$和每个$\varepsilon > 0$的每个开邻域U，在$\mathscr{P}'$中存在函数$h \geqslant 0$，使得对于所有$y \in X - U$有$h(x) \leqslant \varepsilon$和$h(y) \geqslant 1$。 （使用 Exer.2 b)。）

此外，证明$\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$的点的集合在$\mathscr{P}$中至少有一个函数在X达到其下确界在$\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$中是稠密的。

c) 如果 X 的子集 F 是闭集，并且关系 $\lambda \prec \mu$ 和 $\mathrm{Supp}(\mu) \subset F$ 意味着 $\mathrm{Supp}(\lambda) \subset F$，则称其为 $\mathscr{P}$-*稳定*。证明如果 $u \in \mathscr{P}$ 且 $F'$ 是 F 的点的集合，其中 $u$ 达到 F 中的下确界，则集合 $F'$ 是 $\mathscr{P}$ 稳定。

d) 假设在加法中$\mathscr{P}$将点与X分开。证明对于每个函数$h \in \mathscr{P}$，X的点的集合$S_h$，其中$h$在X与$\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$相交处达到其下确界。 （考虑 $S_h$ 中包含的最小 $\mathscr{P}$-稳定子集并使用 c) 来表明这样的子集约化到单个点。）

e) 使用与 d) 中相同的假设，证明对于 X 到包含 $\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$ 的闭子集 F，对于每个函数 $h \in \mathscr{P}'$，F 与点的集合 $S_h$ 相交是充分必要的，其中$h$ 在 X 中达到其下确界（利用 b））。由此推论，要使$a \in X$处于$\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$的闭包中，对于$a$的每个开邻域U，存在$h \in \mathscr{P}'$和$b \in U$，使得$h(b) < h(x)$对于所有$x \in X - U$（在其他字，$S_h \subset U$）。

f) 在 d) 的假设下，如果对于每个函数 $h \in \mathscr{P}'$，$S_h$ 与 A 相交，X 的子集 A 被称为 $\mathscr{P}$ 边。取两者中$\mathbf{R}^2$ 中的X 并分别具有中心 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$ 且半径为 1 的圆，以及 $\mathbf{R}^2$ 上仿射线性函数的限制至 X 的 $\mathscr{P}$ 集合。证明 $\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$ 由 X 的点 $(\xi,\eta)$ 组成，使得 $|\xi| \geq 1$。如果 $a$ 是 $\mathscr{P}$-极值点 $(1,1)$，则表明存在 $a$ 的邻域 U，使得不存在 $h \geq 0$、$h(a) = 0$ 和 $h(y) \geq 1$ 的函数 $h \in \mathscr{P}'$ $X - U$。如果A和$A'$分别是点、$(1,1)$和$(-1,1)$在$\mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X)$中的补集，则A和$A'$是$\mathscr{P}$边，但$A \cap A'$则不然；因此不存在最小的 $\mathscr{P}$ 边。

g) 令 Y 为 Y 的下半连续映射到 ]$-\infty, +\infty$]、包含有限常数的第二个紧致空间、$\mathscr{Q}$ 集合。设$\mathscr{H}$为函数$h = f \otimes g$与$f \in \mathscr{P}$和$g \in \mathscr{Q}$的集合；证明$\mathrm{Ch}_{\mathscr{H}}(X \times Y) = \mathrm{Ch}_{\mathscr{P}}(X) \times \mathrm{Ch}_{\mathscr{Q}}(Y)$。

[^1]: The definition of maximal (or minimal) element in an ordered set (S, III, §1, No. 6) extends at once to pre-ordered sets.