习题 1, § 4

令$\mathscr{T} = (K_i, p_{ij})$为由集合$I$索引的紧致空间的逆系，令$K$为紧致空间，令$(p_i)_{i \in I}$为连续映射$p_i : K \to K_i$的连贯且分离族。

(2) 如果基数 $c$ 是不可数的，则称其为“强不可及”，$2^b < c$ 对应于每个基数 $b < c$，$\sum_{i \in I} c_i < c$ 对应于每个基数 $c_i < c$ 家族，使得 $\mathrm{Card}(I) < c$。 习题 11 和 13 表明，假设连续统假设，最小的不是乌拉姆枢机主教的枢机主教是强烈不可访问的。目前尚不清楚存在强不可及基数的公理是否与集合理论的其他公理相矛盾。

a) 设$A$为形式$f_i \circ p_i$的$K$上的连续函数的集合，其中$i$超过$I$，$f_i$超过连续实数函数的集合 $K_i$。证明$A$是$\mathscr{C}(K)$的稠密线性子空间。

b) 设$(\mu_i)_{i \in I}$为$\mathscr{T}$的正测度子逆系统。假设 $p_i$ 是满射的。对于每个$f \in A$，令$I_f$为$i \in I$的集合，使得$f$为形式$f_i \circ p_i$和$f_i \in \mathscr{C}(K_i)$（必须是唯一的）。证明 $K$ 上存在且仅有一个测度 $\pi$，使得 $\pi(f) = \inf_{i \in I_f} \mu_i(f_i)$ 对于所有 $f \in A$。证明$\pi$ 是$K$ 上积极措施$\mu$ 的最大的，使得$p_i(\mu) \leq \mu_i$ 对于所有$i \in I$。