习题 1, § 6

对于$\mathbf{R}$的每个紧区间$K$，令$\mathscr{C}(K)$为$K$上连续函数的实数向量空间，配备一致收敛的拓扑；用$\mathbf{R}$上的无限可微实函数的$\mathscr{D}(K)$向量空间表示零在$K$之外。为$\mathscr{D}(K)$配备最粗糙的拓扑，其中映射$f \mapsto D^p f|K$对于每个正整数$p$都是连续的（D是微分算子）。 集合$\mathscr{D} = \bigcup_K \mathscr{D}(K)$、空间，其配备有子空间$\mathscr{D}(K)$拓扑的局部凸拓扑，即直极限。

a) 对于每个整数$p \geq 0$和每个函数$f \in \mathscr{D}(K)$、集合

证明 $Q_p$ 是 $\mathscr{D}(K)$ 上的正二次方形式，范数 $Q_p^{1/2}$ 定义拓扑 $\mathscr{D}(K)$ 的序列，并且$\operatorname{Tr}(Q_{p+1}/Q_p)$ 对于每个 $p \geq 0$ 都是有限的。 （对于每个实数$t$，令$I_t$为区间$[t, +\infty[$的特征函数；使用公式$D^p f(t) = \int_K D^{p+1} f \cdot I_t dx$和贝塞尔的不等式，证明$\sum_{i=1}^n Q_p(f_i) \leq l^2$对于每个有限序列$f_1, \ldots, f_n$ 函数属于到$\mathscr{D}(K)$，$Q_{p+1}$的正交；数$l$是区间$K$的长度。） 由此推断$\mathscr{D}(K)$是核空间。

b) 证明空间$\mathscr{D}$是核。 （首先在$\mathscr{D}$中建立非零的函数的存在性，并由此推出函数$h \geq 0$在$\mathscr{D}$中的存在性，使得对于每个$x \in \mathbf{R}$有$\sum_{n \in \mathbf{Z}} h(x-n) = 1$。 令$K$为$\mathbf{R}$的紧区间，使得$h$是零在$K$之外；对于每个整数 $n$、集合 $h_n(x) = h(x-n)$ 和 $K_n = K + n$。 令$V$为$\mathscr{D}$中0的凸邻域；存在正整数$p_n$，使得每个函数$f \in \mathscr{D}(K_n)$与$Q_{p_n}(f) \leq 1$属于到$V$。 定义 $Q(f) = \sum_{n \in \mathbf{Z}} 2^{2n} Q_{p_n}(f \cdot h_n)$ 和 $R(f) = \sum_{n \in \mathbf{Z}} 2^{3n} Q_{p_n+1}(f \cdot h_n)$ 在 $\mathscr{D}$ 上的连续二次形式 $Q$ 和 $R$；表明 $f \in \mathscr{D}$ 的 $V$ 包含集合使得 $Q(f) \leq 1$ 且 $\operatorname{Tr}(R/Q)$ 是有限的。）

c) 将上述内容推广到具有紧凑支持的 $\mathbf{R}^n$ 上的无限可微函数。