习题 15, § 8

令$(T_\iota)_{\iota \in I}$为紧致空间的任意族，对于每个$\iota \in I$，令$\mu_\iota$为总质量1的$T_\iota$的正测度；设$\mu$为乘积在$T = \prod_{\iota \in I} T_\iota$上测量$\bigotimes_{\iota \in I} \mu_\iota$。对于I的每一个划分（L，M）分成两个子集，其中一个将T标识为乘积$T_L \times T_M$，其中$T_L = \prod_{\iota \in L} T_\iota$；对于每一个$t \in T$，有人写$t_L = \mathrm{pr}_L t$，因此t被识别为$(t_L, t_M)$；让 $\mu_L$ 成为 $T_L$ 上的$\bigotimes_{\iota \in L} \mu_\iota$。令 p 为有限实数 $\geqslant 1$；对于 $\mathscr{L}_F^p(T, \mu)$ 中的每一个函数 f（F a Banach 空间或 $F = \overline{\mathbf{R}}$），有人写 $f_L(t) = \int f(t_L, t_M) d\mu_M(t_M)$。表明，对于I的有限子集L的有向集合，$f_L$趋向于阶p的平均值到f，$f_M$趋向于阶p的平均值到等于常数函数等于$\int f d\mu$。 （通过连续的函数来近似 f，仅取决于有限的数变量。）

由此推论，如果 T 的 $\mu$ 可测子集 A 是这样的，对于所有 $t \in A$，每个点 $t' \in T$，其坐标等于 t 的坐标，除了指标的有限数以及 A 的属于，然后$\mu(A) = 0$或$\mu(A) = 1$。