习题 2, § 8

设T为$\mathbf{R}$的区间$[0,1]$，配备由$\mathbf{R}$的区间拓扑，T'为$\mathbf{R}$的区间$[0,1]$，配备离散拓扑；令$\mu$为T上的勒贝格测度，$\mu'$为T'上的离散测度，由T'的每点处的质量+1定义，并令$\nu = \mu \otimes \mu'$为$X = T \times T'$上的乘积测度。

a) 对于每个 $t \in T$，集合 $\{t\}$ $\mu$ 可忽略不计，但集合 $\{t\} \times T'$ $\nu$ 不可忽略。

b) $T \times T'$的“对角的”$\Delta$（点$(t,t)$的集合，其中t超过$[0,1]$）是$T \times T'$中的闭集合，局部$\nu$可忽略不计，但不可忽略$\nu$-可以忽略不计，这样$\mu'(\Delta(t)) = 1$对于所有$t \in T$，$\mu(\Delta(t')) = 0$对于所有$t' \in T'$（cf.§3，Exer.3）。

c) 在空间$X \times X = Y$，考虑乘积措施$\rho = \nu \times \nu$。证明在 Y 集合 A 中存在，局部 $\rho$ 可忽略不计，使得对于每个 $x \in X$、$A(x)$ 和 $-1$ $A(x)$ $\nu$ 可测量且不可局部忽略。 （如果$x = (t,t')$，其中$t \in T, t' \in T'$，则取A使得$A(x)$包含所有点$(s,t) \in X$，其中$0 \leq s \leq 1$。）