习题 21, § 8

用 $\lambda$ 表示$\mathbf{R}^n$ 上的勒贝格测度。

a) 令$C_0$为$\mathbf{R}^n$中的立方体（GT，VI, §1, No. 1），并令u为$C_0$上可积的数值函数（对于$\lambda$）。让 s 为实数这样

证明$C_0$中存在序列$(I_k)$个开立方体，成对的不相交的和满足以下条件：

$1^\circ$ $|u(x)| \leq s$ 集合 $C_0 - \bigcup_k I_k$ 几乎所有地方；

$2^\circ$ 如果有集合

那么 $u_k \leq 2^n s$ 对于所有 $k$；

$3^\circ$$\sum_k \lambda(I_k) \leq \frac{1}{s} \int_{C_0} |u(x)| \, d\lambda(x)$。

（将$C_0$的投影分成两个等间隔，在$2^n$成对的不相交的开放立方体选择立方体$I_{1i}$中，使得相应的'平均值'$u_{1i}$都是$\geq s$，并且，由于 s 的选择，表明$u_{1i} \leq 2^n s$ 类似地将第一个细分中未出现在 $I_{1i}$ 中的每个立方体分解为 $2^n$ 立方体，这会产生第二个有限立方体族 $I_{2i}$，该立方体是从所有获得的新立方体中选择的。 相应的的意思是值 $u_{2i}$ 是 $\leq s$。为了证明条件 $1^\circ$ 被验证，通过反证法，注意到 $C_0 - \bigcup_k I_k$ 的子集 $B_m$，其中 $|u(x)| \geq s + 1/m$ 是，直到开集合的递减序列$(U_r)$的可忽略不计的集合、交，其中$U_r$是不在$I_k$和包含之间的第r个细分的立方体的并点 / $B_m$。）

b) 令 $\mathscr{F}$ 为 $C_0$ 上可积数值函数 u 的集合，具有以下性质：对于每个立方体 $C \subset C_0$，如果 $m_C(u)$ 是平均值值

然后$\int_C |u(x) - m_C(u)| \, d\lambda(x) \leq \lambda(C)$；如果$u \in \mathscr{F}$，对于每个实数c，$u - c$也是如此。对于每个函数$u \in \mathscr{F}$、每个数$\sigma > 0$和每个$C \subset C_0$立方体，用$x \in C$的$S(\sigma, u, C)$集合表示，使得$|u(x) - m_C(u)| \geq \sigma$。最后，用 $G(\sigma)$ 最小的数表示，使得

因为$u$超过$\mathscr{F}$，并且C超过集合包含在$C_0$中的立方体；一个有$G(\sigma) \leq 1/\sigma$。

证明如果 $\sigma/2^n > s \geq 1$ 那么

（一个人可以将自己限制在证明，对于$u \in \mathscr{F}$，一个人有

为了简化，我们可以假设 $m_{C_0}(u) = 0$。然后将$C_0$的分解转化为立方体$I_k$和集合的并，其中$|u(x)| \leq s$几乎无处不在，注意如果$x \in I_k$属于到$S(\sigma, u, C_0)$，则$|u(x) - m_{I_k}(u)| \geq \sigma - 2^n s$，因而

c) 从b)推导出存在两个仅依赖于$n$的常数$B, b$，这样，对于每个函数$u \in \mathscr{F}$和每个数$\sigma > 0$，都有一个$\lambda(S(\sigma, u, C_0)) \leq Be^{-b\sigma} \lambda(C_0)$。 （取b）中的$s = e$。）